GROUP2-4 (Методическая разработка для проведения занятий по военно-специальной подготовке со студентами, обучающимися по ВУС - 530700)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВОЕННОГО ОБУЧЕНИЯ

КАФЕДРА ВОЙСК ПВО

У Т В Е Р Ж Д А Ю

Начальник военной кафедры Войск ПВО

ФВО при МГУ им. М.В. Ломоносова

полковник

И.Я. КАЛАШНИКОВ

“ “ _____________ 199 г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

для проведения занятий по военно-специальной подготовке со студентами, обучающимися по ВУС - 530700

ТЕМА 2. Метод статистических испытаний и его

применение для оценки эффективности

стрельбы.

Занятие 2.4 Методы моделирования псевдослучайных чисел

с заданным законом распределения

Обсуждена на методическом заседании цикла №24

протокол №___ от « » ____________ 1997 года

МОСКВА - 199 год

Учебные цели

Дать практику в построении моделей случайных величин с различными законами распределения.

Учебные вопросы:

1. Моделирование дискретной случайной величины

2. Моделирование непрерывной случайной величины

• метод обратных функций

3. Приближенные методы моделирования

1. метод Неймаеа

2. метод дробления области определения случайной

величины на конечное число интервалов.

3. метод кусочной аппроксимации

4. метод моделирования нормально распределенных

случайных величин

Учебное время: 2 часа

Метод проведения: групповое занятие

1. Моделирование дискретной случайной величины

Требуется получить последовательность значений дискретной случайной величины , которая может принимать значения с вероятностями

Пусть - непрерывная случайная величина, равномерно распределенная в интервале тогда согласно выражению можно записать

причем при .

Если считать, что всякий раз, когда выполняется условие

то в последовательности реализаций случайной величины частота появления каждого числа будет соответствовать вероятности

0 1

Рассмотрим примеры

1) Моделирование биномиального распределения

значение определяется из условия

< <

2) Моделирование распределения Пуассона

значение определяется из условия

< <

2. Моделирование непрерывной случайной величины

2.1 метод обратных функций

На лекции было показано, что если значение функции распределения рассматривать как случайную величину, то функция ее распределения есть равномерно распределенная случайная величина распределенная в интервале . Воспользуемся этим обстоятельством для моделирования непрерывных случайных величин с заданным законом распределения.

Пусть случайная величина распределена равномерно в интервале . Необходимо получить значения случайной величины с заданной плотностью распределения .

Воспользуемся соотношением( см. Лекцию )

Решая это уравнение относительно получим зависимость

Подставляя в последнее выражение равномерно распределенные случайные числа из интервала , будем получать случайные числа с заданным законом распределения.

Рассмотрим примеры

1. Требуется получить последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале

Воспользуемся соотношением и получим следующее выражение

откуда

2) Требуется получить последовательность случайных чисел с показательным законом распределения

проводя аналогичные с предыдущим примером рассуждения, получим

о ткуда

3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Для различных законов распределения не всегда можно найти простую зависимость вида , например в случае когда интеграл не выражается через элементарные функции. В этом случае используют приближенные методы моделирования непрерывных случайных величин

3.1 Метод Неймаеа

Пусть для случайной величины , определенной на конечном интервале , задана плотность распределения . Предположим, что функция ограничена

Приведем значение к интервалу

График функции может быть вписан в прямоугольник (см. рисунок)

В ыберем пару чисел и из равномерно распределенных в интервале последовательностей и . Если перевести в область определения , то пара чисел

и

определяют случайную точку в прямо

угольнике

В качестве чисел с заданной плотностью будем принимать те числа

для которых выполняется условие

т. е. абсциссы тех точек которые лежат под кривой . Если условие не выполняется, то пара чисел отбрасывается и условие проверяется для следующей пары чисел

(Доказательство справедливости данного метода было рассмотрено на лекции)

Если область определения случайной величины не ограничена на конечном интервале , то необходимо перейти к усеченному распределению. Для этого находят такие абсциссы и , что вероятность выхода случайной величины за пределы или не превышают наперед заданного числа т. е.

1. Метод дробления области определения случайной величины на

конечное число интервалов.

При использовании метода Неймана большое количество пар случайных чисел не используются (точка М попадает в область над кривой) и тем самым значительная часть времени расходуется впустую.

В целях сокращения времени моделирования случайных чисел метод Неймана может быть модифицирован следующим образом.

Область определения случайной величины разбивается на конечное число интервалов и на каждом интервале строится область .

В качестве областей берутся прямоугольники, основаниями которых являются интервалы разбиения , а высотами максимальные значения функции на интервале

Случайная точка ( бросается в область с вероятностью

где - площадь области , и равномерно распределяется в ней.

В качестве чисел с заданной плотностью распределения берутся абсциссы тех точек для которых выполняется условие

где ;

и - случайные числа, равномерно распределенные в интервале . (Т. е. Для области применяется обычный метод Неймана).

Номер области моделируется как дискретная случайная величина, принимающая значение с вероятностями

где - случайное число, равномерно распределенные в интервале .

3.3 Метод кусочной аппроксимации

Область определения случайной величины разбивается на интервалов так, что бы вероятность попадания случайной величины в любой интервал была постоянной т.е.

З начения последовательно

вычисляются из соотношения

Предполагается, что функция на интервале постоянна т. е.

при ,

тогда случайная величина на интервале распределена равномерно. В этом случае в качестве чисел с заданной плотностью берутся числа.

где целая часть. и случайные числа из интервала

Последовательность соответствует требуемой плотности .

Алгоритм решения задачи

1) формируем случайную величину и определяем - номер интервала куда попало значение

2) внутри найденного интервала определяем значение случайной величины

1. Метод моделирования нормально распределенных

случайных величин

Метод основан на центральной предельной теореме. Если независимые случайные величины имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией то сумма

асимптотически нормальна

с математическим ожиданием .............

и дисперсией ........................................

Для случайной величины равномерно распределенной в интервале

Тогда

Для получения последовательности нормально распределенных чисел с параметрами , можно использовать зависимость

Для улучшения асимптотической нормальности суммы и уменьшения числа слагаемых можно использовать специальное преобразование

где

В этом случае закон распределения случайной величины будет близок к нормальному при

Старший преподаватель 24 цикла

подполковник С. ШВЫДКОВ