Статистическая проверка статистических гипотез

Статистической наз. Гипотеза о виде з-на распределения или о параметрах распределения.

Проверять справедливость гипотезы можно только по выборочным данным. С. данные, вошедшие в выборку. Подсчитанные по ним величины тоже случайны.

Статистическим критерием К наз. С.в., служащая для проверки гипотезы (это ф-ла, зависящая от х_i ):

К=К(х₁,х₂…х_n) - (1)

Нулевой гипотезой М₀ наз.выдвинутая гипотеза, кот. Нужно проверить ( напр.: с.в. – норм с m_x=2.5, σ_x=3.1 ) Конкурирующей или альтернативной наз. Гипотеза, противоречащая М₀, М₁ (m_x≠2.5, σ_x>3,1).

Проверка гипотезы производится след.образом: по выборке подсчитывают значение К наблюдаемого и по его величине решают, принять гипотезу или нет.

Те значения К, при кот. Гипотеза принимается, образуют область принятия гипотезы; при кот. Отвергается – критическую область. Точки, разделяющие эти области, наз-ся критическими точками.

В зависимости от гипотезы и критерия критические области бывают:

• Д вусторонняя К_ср ^лев К_ср^прав К

• П равосторонняя К_ср К

• Л евосторонняя К_ср К

Критерий – с.в. и при проверке гипотезы возможны случайные ошибки.

1. М₀ верна, но мы ее отвергаем, т.к. к_набл попал в критическую область. Это ошибка 1-го рода.

P(ош I рода) =α (2)

1. М₀ неверна, но мы ее принимаем , т.к. К_набл попал в область принятия гипотезы. Это ошибка П-го рода.

P(ош П рода) =β (2)

Для проверки гипотезы можно предложить разные ф-лы. Лучшей из них считают ту, кот. Позволяет принять М₀ , если она верна, и отвергнуть М₁ , если она неверна.

Мощностью критерия наз-ся вер-ть принять гипотезу М₀, если она верна.

М=P(М₀ верна и принята) = 1-β (4)

Вер-ти α и β стараются сделать как можно меньше.

Проверка гипотезы о равенстве мат.ожиданий

двух нормальных распределений

Ставились опыты над двумя норм.с.в. Х_i . Получены две выборки разного V:

(х₁,х₂…х_n) n

(y₁,y₂…y_m) m

По ним подсчитаны средние. Например, =12,5 и =14,1.

Гипотеза М₀: m_x=m_y (различие средних незначимо)

М₁: m_x≠m_y (различие средних значимо)

Построим критерий для проверки гипотезы К:

(5)

Чем больше разность между и , тем больше шансов, что гипотезу нужно отвергать; если эта разница небольшая, то гипотезу принимаем. Чтобы исключить влияние разброса и , ввели в знаменатель величину, характеризующую этот разброс. Найдем з-н распр-я критерия К:

1. Теоретические D_x и D_y известны:

σ[ - ] - ?

D[ - ] = D[ ] + D[ ] = D[ ] + D[ ] =

=

σ[ - ] = (6)

Если дисперсии известны, то знаменатель критерия (5) – постоянное число.

= все х_i – нормальные - нормальная

= все y_i – нормальные - нормальная

- - нормальная , а значит и К имеет нормальное распределение.

Найдем параметры этого распределения:

M[K] = M[ ] =

D[K] = D[ ] = =1

Критерий К имеет норм. Распред-ие с D_k =1 и m_k =

D_k =1

m_k = (7)

Пусть гипотеза M₀ верна (m_x=m_y) , тогда m_k =0, D_k =1. Тогда критерий К имеет стандартное норм. распред-е Z.

Z

Критерий для проверки гипотезы о равенстве мат.ожиданй при известных дисперсиях

= (8) –

f(z) f(z)

z

-z_кр z_кр

_{область принятия}

двусторонняя критическая область

Если гипотеза верна, а мы ее отвергаем из-за того, что z набл. Попала в критическую область, то мы совершаем ошибку 1-го рода. Ее вер-ть =α. Посчитаем ее вер-ть и приравняем к α.

Р(/z/> z_крит) = 1-2Ф (z_крит)

1-2Ф (z_крит) =α (9)

Ф-ла (9) позволяет найти крит.точку, если задан уровень значимости α.

2Ф (z_крит) =1-α

Z_крит = (10)

Ф^-1(x) – обратная ф-ии Лапласа

Порядок проверки гипотезы:

1. повыборкам подсчитываются и и по ф-ле (8) Z_набл.;

2. по таблице ф-ции Лапласа по заданному уровню значимости α (0,1; 0,01; 0,05) находят Z_крит (ф-ла 10);

3. если /Z_набл /> Z_крит , то гипотезу М₀ отвергаем;

если /Z_набл/< Z_крит, , то гипотезу М₀ принимаем (имеющиеся данные не дают основания ее отвергать).

Вероятность ошибки II-го рода: Пусть гипотеза M₀ неверна и на самом деле m_x≠m_y, тогда z-критерий имеет нормальное распределение, но математическое ожидание ≠0.

F(z)

m_z≠0

вероятность того, что m₀ принимаем =β

вероятность ошибки 1-го рода =α

По заданному α находим z кр. Если α уменьшить, то z кр будет сдвигаться вправо, но одновременно будет возрастать β – вероятность ошибки 2-го рода. И наоборот, уменьшая β, увеличиваем α. Уменьшать обе площади вместе можно только, отодвигая график f(z) вправо, т.е. увеличивая m_z. Увеличить m_z можно только увеличивая объемы выборок n и m. При этом количество обрабатываемой информации увеличивается и выводы становятся более достоверными, т.е. вероятность ошибки уменьшается.

m_z =

1. Дисперсии неизвестны, но равны.

критерий Стьюдента (11)

-Т_кр Т_кр

Порядок проверки гипотезы:

1. по выборке находим Т_набл (ф-ла 11)

2. по таблице крит. точек распределения Стьюдента находим Т_кр(α,β); к – число степеней свободы; к=m+n-2;

Замечание 1:Т – критерием можно пользоваться не только для нормального распределения, но и для выборок большого объема.

Замечание 2:Т – критерием можно пользоваться если дисперсии равны. Предварительно надо проверять гипотезу о равенстве дисперсий (по критерию Фишера).

Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания нормального распределения предполагаемому значению.

Для с.в. Х получена выборка (х₁, х₂ ..х_n). Найдено ( =13,2; а=15)

m_x=15

1. D_x известна.

(12)

Порядок проверки:

1. по выборке найдем Z_набл (ф-ла 12);

2. Z_кр=

3. если |Z_набл |> Z_крит , то гипотезу отвергаем;

если |Z_набл|< Z_крит, , то гипотезу принимаем

1. D_x неизвестна.

(13)

Порядок проверки:

1. T_набл (ф-ла 13)

2. по таблицам T_кр (α, К)

3. если |T_набл |> T_крит , то гипотезу отвергаем;

если |T_набл|< T_крит, , то гипотезу принимаем

Сравнение мат.ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными дисперсиями (для малых зависимых выборок)

Выборки для Х и Y зависимы, когда измерения одних и тех же объектов проводятся разл.методами.(например, расчеты, проведенные по одной и той же методике, но разл.подразделениями; измерения над разл. объектами одними и теми же людьми или на одной и той же аппаратуре и т.д.). В рез-те таких измерений получаем разл.выборки одинакового V:

Xi	X1	X2	….	xn
Yi	Y1	Y2	…	ym

M₀: =

D = X – Y

d_i = x_i - y_i

Проверяется

Проверка выполняется по критерию Стьюдента (ф-ла 13).

(14)

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

По двум выборкам для с.в. X и Y найдены оценки для дисперсии:

(15) – критерий Фишера.

1 F_кр

Порядок проверки гипотезы:

1. по выборке F_набл (ф-ла 15)

2. по таблице критических точек распределения Фишера находим F_кр(α;k₁,k₂). k₁=n_{большее}-1,k₂=n_{меньшее}-1;

3. F_набл>F_крит гипотезу отвергаем;

F_набл<F_крит гипотезу принимаем.

Сравнение выборочной дисперсии

предполагаемым значением.

Для с.в. Х получена выборка, по которой найдена точная оценка для дисперсии S_x².

Гипотезу проверяем по критерию Х².

(16)

Х²

f(x)

(Х²_кр)^лев n-1 (Х²_кр)^пр x

Различные варианты альтернативной гипотезы:

0

1. по выборке Х²_набл (ф-ла 16)

2. по таблицам Х²_кр(α;k). K=n-1;

3. Х²_набл>Х²_кр M₀ отвергаем

Х²_набл<Х²_кр M₀ принимаем

0 (Х²_кр)^лев (Х²_кр)^пр

1. по выборке Х²_набл (ф-ла 16);

2. по таблицам k=n-1

3. (Х²_кр)^лев<Х²_набл<(Х²_кр)^пр M₀ принимаем

Х²_набл< (Х²_кр)^лев <(Х²_кр)^пр M₀ отвергаем

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

нескольких нормальных распределений.

Критерий Коглена ( выборки одинакового объема): для нескольких с.в. х₁, х₂…х _е получены выборки одинакового объема n. Для каждого найдены S²₁, S²₂…S²_e. Проверяется гипотеза об однородности дисперсии M₀: D₁=D₂=…D_e.

(17)

Порядок проверки:

1. по выборке G_набл (ф-ла 17);

2. по таблицам крит. Точек распред-ия Когрена G_кр (α, k, l)

3. G_набл > G_кр M₀ отвергается;

G_набл < G_кр M₀ принимается.

Cравнение нескольких дисперсий нормальных распределений для выборок различного объема

Критерий Бартлета: для нес. С.в. х₁, х₂…х _l получены выборки с разл. V n₁, n₂…n _l . По ним найдены оценки дисперсии S²₁, S²₂…S²_l.

M₀: D₁=D₂=…D_e.

(18)