Распределение Пуассона.

Дискретная с.в. Х с возможными значениями распределена по закону Пуассона, если вероятности возможных значений подсчитываются по формуле Пуассона:

(1)

а – параметр пуассоновского распределения.

Анализ распределения.

1. основное свойство ряда:

(1)

Стоящая в скобках бесконечная сумма – это т.н. степенной ряд. Любая элементарная функция может быть представлена в виде суммы такого ряда. Эта бесконечная сумма представляет собой разложения е^а.

1. m_x - ?

(2)

Параметр Пуассона в точности равен математическому ожиданию.

1. m₀ – найвероятнейшее из возможных значений - ?

(3)

1. D_x=a (4)

2. σ_х= (5)

Применения распределения Пуассана.

1. Распределения Пуассона является предельным для биноминального распределения, если при повторении опыта число опытов N возрастает до бесконечности ( ), но при этом вероятность появления события в одном опыте, т.е. . При этом сonst, т.е. математическое изменение остается неизменным. Практически это означает, что при большом числе опытов (N=25-30) над маловероятными событиями (p<0.1) вместо формулы Бернулли можно применять формулу Пуассона:

(6)

Доказательство:

Запишем формулу Бернулли и перейдем к пределу при .

1. Случайное поле точек.

x₁ x₂ x₃

l

Пусть на числовой оси случайным образов расставляются точки х₁, х₂…x_n. Выделим отрезок длинной l. Рассмотрим с.в.Х – количество точек, попавших на интервал длинной l. Это дискретная с.в. с возможными значениями {0,1,2,…∞}. Пусть это случайное поле точек удовлетворяет следующим условиям:

1. Вероятность попадания того или иного числа точек на интервал длинной l зависит только от длинны этого интервала и не зависит от того, где на числовой оси он находится. Обозначим λ среднее число точек, попадающих на интервал длинной 1. (среднее – это средняя плотность). Тогда среднее число точек, попавших на интервал длинно l равно: λ* l=a, где a=M[x].

2. Точки распределяются на числовой оси независимо друг то друга, т.е. вероятность попадания того или иного числа точек на интервал не зависит от того, сколько их попало на другой интервал, не пересекающийся с данным.

3. Вероятность того, что на малый интервал Δх попадают две и более точек, - это величина б.м. по сравнению с вероятностью попадания одной точки.

При выполнении этих трех условий с.в.Х подчиняется распределению Пуассона с параметром a=λl.

(7)

Вероятность того, что на интервал длинной l попало λ точек.

З амечание: Такая же ситуация возникает, когда точки распределяются на плоскости или в пространстве.

D

D

Количество точек, попавших на плоскость Д или в объем Д – это с.в. с пуассоновским распределением. Где λ – среднее число точек в единице плоскости или в единице объема.

Для этого должны выполнятся те же три условия:

1. точки распределены статически равномерно со средней плотностью λ;

2. точки попадают в не перекрывающиеся области независимым образом;

3. точки появляются по одной, а не парами и т.д.

Например: отбирались пробы грунта и определялось количество золотых частиц в пробе.

Число частиц в пробе	Число случаев наблюдения	Относительная частота	Вероятность	Теоретическая частота
0	112	0,216	0,213	110
1	168	0,325	0,328	173
2	130	0,251	0,253	131
3	69	0,133	0,130	67
4	32	0,062	0,050	25
5	5	0,010	0,016	8
6	1	0,002	0,004	2
7	1	0,002	0,001	1
	n=518

Распределения случайных частиц золота прекрасно описывается пуассоновской формулой.

► Среднее количество вирусов гриппа в 1м³ воздуха равно 100. Отбирается проба объемом 2дм³. Найти вероятность того, что в этой пробе содержится хотя бы один вирус. Каким должен быть объем пробы, что бы вероятность того, что в ней будет хотя бы один вирус, ≥0,99?

Считаем распределение вирусов в пространстве по-пуассоновски.

, ,

2. V - ?

1. Случайный поток событий.

Случайным потоком событий называется последовательность событий, появляющихся друг за другом в случайные моменты времени. Например:

1. поток вызовов на АТС;

2. поток вызовов на ремонт оборудования;

3. поток клиентов, приходящих в банк;

4. поток аварий на дорогах города и т.д.

Е сли нанести эти моменты на числовую ось, получим, что поток событий – это один из случаев случайного поля точек.

t₁ t₂ t₃ t₄ t

Замечание 1: Сами события не являются случайными; случайные моменты времени, когда они происходят.

Замечание 2: Если события появляются через строго определенные промежутки времени, то это не случайный, а регулярный поток.

В потоке событий рассматривается два с.в:

1. Количество событий, появившихся за время τ. Это дискретная с.в. с возможными значениями {0,1,2…∞}.

t₁ t₂ t₃ t₄ t

T₁ T₂ T₃

С.в. Т – интервал времени между двумя соседними событиями (время ожидания в потоке событий). Это непрерывная с.в. с возможными значениями на интервале (0:+∞).

Будем рассматривать потоки обладающие следующими свойствами:

1. стационарность потока: поток называется стационарным, если вероятность появления того или иного числа событий за время τ зависит только от длины этого интервала и не зависит от того, где на временной оси он находится. Появление событий во времени статически равномерно;

2. отсутствие последствия: поток называется потоком без последствия, если количество событий, появившихся за время τ не зависит от того, сколько их произошло за другой интервал времени не пересекающийся с данным;

3. ординарность: поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух и более событий за малое время Δt пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события ( события появляются по одному).

Ординарный поток без последствия называется пуассоновским потоком (требования 2 и 3). Если пуассоновский поток еще и стационарный, то это простейший поток (+ требование 1).

Основная характеристика потока – его интенсивность λ (средние число событий, происходящих в единицу времени). В стационарном потоке λ=const, в нестационарном потоке λ зависит от времени:

λ= λ(t).

Для простейшего потока число х событий за время τ подчиняется распределению Пуассона:

(8)

а – среднее число событий, происходящих за время τ.

Вторая с.в. т – время ожидания при этом подчиняется показат. распределению с параметром λ, равным интенсивности потока.

(9)

запишем для с.в. Т функцию распределения:

T

t

Нужно найти вероятность того, что время между двумя соседними событиями Т окажется больше чем интервал t, т.е. что за время t ни одно событие не произойдет.

Это функция показат. распределения.

Например: На дорогах города происходит в среднем 5 тяжелых аварий в сутки. Какова вероятность того что за 8-часовое дежурство майора Иванова ни одного события не произойдет.

►Сбой в работе ЭВМ происходит в среднем 1 раз в полчаса. Очередной сбой произошел в 12⁰⁰. Какова вероятность того, что следующий произойдет в интервале от 14⁰⁰ до 14³⁰.

Т – время ожидания в потоке отказов.

В рулоне бумаги в среднем каждые 5 метров встречается дефект. Какова вероятность того, что лист длиною 8 метров окажется без дефектов ?

Это задача на случайное поле точек, связанная с распределением Пуассона.

Случайные точки - дефекты бумаги. Интенсивность случайного поля точек:

 = 1 дефект / 5 метров = (1/5) (дефекта/метр).

Длина рассматриваемого отрезка : l = 8 метров .

Вероятность того, что на отрезке длины l появится ровно k точек подсчитывается по формуле Пуассона :

На междугороднюю телефонную станцию поступает в среднем 5 заявок в час. Найти вероятность того, что с 12⁰⁰ до 15⁰⁰ поступит не более 4 звонков.

Звонки поступают в случайные моменты времени и образуют случайный поток событий. Интенсивность потока :  = 5 (звонков / час).

Рассматриваемый интервал времени:  = 3 (часа). Среднее число звонков, поступающих за 3 часа: a =  = 15.

Вероятность того, что за время  появится ровно k событий, подсчитывается по формуле Пуассона :

Следовательно: