Биномиальное распределение

Повторение опытов. Ф-ла Бернулли

Один и тот же опыт, в кот. Соб А может появиться с вероятностью р или не появиться с вероятностью q, повторяется N раз. Опыты независимы, т.е. исход каждого их них не влияет на исходы остальных.

Это повторение опытов по схеме Бернулли.

Например: монета бросается 10 раз. N=10. В каждом из бросании соб А – появление герба может появиться с р=1/2 и не появиться с q=1/2.

2) в группе 15 чел. Каждый из них может опоздать на урок с вер-ю р=0.01 и не опоздать с q=0.99. опыт проводится 15 раз N=15.

Рассматривается с.в. Х – число появление соб А при N опытах. Возможные значения {0,1,2,…N}.Это дискретная с.в. Вер-ть каждого из возможных значений подсчитывается по ф-ле Бернулли:

( 1)

P_N(K) = P_N (x=k)

Ф-ла (1) задает ряд распределения.

Вывод ф-лы Бернулли: Подсчитаем вер-ть того, что событие появится ровно К раз. Это значит, что в К опытах событие появилось, а в (N - K) не появилось. Вер-ть любого из таких вариантов = (p^k q ^n-k).Число таких вариантов определяется выбором из N номеров опытов тех К номеров, в которых событие появлялось, т.е. С^k_N .Перемножив эти кол-ва вариантов, получаем ф-лу Бернулли.

Например: Найти вер-ть того, что при пяти бросаниях кубика цифра «6» появится: а) ровно 3 раза;

Б) не менее 2-х раз.

Опыт – бросание кубика.

Число повторений N=5.

Соб.А – появление «6» в одном бросании.

р=Р(А)=1/6

q=Р(Ǎ)=5/6

к – интересующее нас число повторений.

А) Р₅(3) = С₅³ (1/6)³(5/6)² = = 10

Б) Р₅(К 2) = Р₅(2)+ Р₅(3)+ Р₅(4)+ Р₅(5) = 1 - Р₅(К<2)=1 – [Р₅(0)+ Р₅(1)]=

= 1 - =

= 1 -

Анализ распределения.

1. Проверяем основное свойство ряда:

1. m_x - ?, D_x - ?

M[x]=

M[x]=

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения равна:

(2)

Доказательство.

Рассматривается с.в. х – число появления событий в серии из N опытов. Представим ее в виде суммы с.в.

X=x₁+x₂+…+x_n (3)

С.в. x_i – число появлений событий при одном I-том опыте. Ряд распределения для нее:

xi	0	1
pi	q	p

Пользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:

1. σ_х - ?

σ_ч= (4)

1. m₀ - ?

В данном распределении m₀ – это найвероятнейшее число появлений событий А. Найдем ее из системы неравенств:

(5)

q p

N_p

На интервале p+q=1 может быть одно целое число или два целых числа, если они попадают на края интервала. В этом случае их вероятности будут равны.

Например. Найти найвероятнейшее число выпадений «6» при восьми бросках кубика.

Опыт – бросание кубика N=8

Событие А – выпадение «6» в одном опыте ,

m₀=1 - найвероятнешее число выпадений «6» при восьми бросках кубика.

Найти вероятность того, что при 50 бросках монеты герб появится в половине случаев.

Опыт – бросание монет. N=50

Событие А – выпадение герба в одном бросании. ,

Замечание. В биноминальном распределении при большом числе опытов N пользоваться формулой Бернулли сложно (теряется точность расчетов). Поэтому используются т.н. предельные случаи биноминального распределения:

1. распределение Пуассона;

2. нормальное распределение.

Распределение Пуассона.

Дискретная с.в. Х с возможными значениями распределена по закону Пуассона, если вероятности возможных значений подсчитываются по формуле Пуассона:

(1)

а – параметр пуассоновского распределения.

Анализ распределения.

1. основное свойство ряда:

(1)

Стоящая в скобках бесконечная сумма – это т.н. степенной ряд. Любая элементарная функция может быть представлена в виде суммы такого ряда. Эта бесконечная сумма представляет собой разложения е^а.

1. m_x - ?

(2)

Параметр Пуассона в точности равен математическому ожиданию.

1. m₀ – найвероятнейшее из возможных значений - ?

(3)

1. D_x=a (4)

2. σ_х= (5)

Применения распределения Пуассана.

1. Распределения Пуассона является предельным для биноминального распределения, если при повторении опыта число опытов N возрастает до бесконечности ( ), но при этом вероятность появления события в одном опыте, т.е. . При этом сonst, т.е. математическое изменение остается неизменным. Практически это означает, что при большом числе опытов (N=25-30) над маловероятными событиями (p<0.1) вместо формулы Бернулли можно применять формулу Пуассона:

(6)

Доказательство:

Запишем формулу Бернулли и перейдем к пределу при .

1. Случайное поле точек.

x₁ x₂ x₃

l

Пусть на числовой оси случайным образов расставляются точки х₁, х₂…x_n. Выделим отрезок длинной l. Рассмотрим с.в.Х – количество точек, попавших на интервал длинной l. Это дискретная с.в. с возможными значениями {0,1,2,…∞}. Пусть это случайное поле точек удовлетворяет следующим условиям:

1. Вероятность попадания того или иного числа точек на интервал длинной l зависит только от длинны этого интервала и не зависит от того, где на числовой оси он находится. Обозначим λ среднее число точек, попадающих на интервал длинной 1. (среднее – это средняя плотность). Тогда среднее число точек, попавших на интервал длинно l равно: λ* l=a, где a=M[x].

2. Точки распределяются на числовой оси независимо друг то друга, т.е. вероятность попадания того или иного числа точек на интервал не зависит от того, сколько их попало на другой интервал, не пересекающийся с данным.

3. Вероятность того, что на малый интервал Δх попадают две и более точек, - это величина б.м. по сравнению с вероятностью попадания одной точки.

При выполнении этих трех условий с.в.Х подчиняется распределению Пуассона с параметром a=λl.

(7)

Вероятность того, что на интервал длинной l попало λ точек.

З амечание: Такая же ситуация возникает, когда точки распределяются на плоскости или в пространстве.

D

D

Количество точек, попавших на плоскость Д или в объем Д – это с.в. с пуассоновским распределением. Где λ – среднее число точек в единице плоскости или в единице объема.

Для этого должны выполнятся те же три условия:

1. точки распределены статически равномерно со средней плотностью λ;

2. точки попадают в не перекрывающиеся области независимым образом;

3. точки появляются по одной, а не парами и т.д.

Например: отбирались пробы грунта и определялось количество золотых частиц в пробе.

Число частиц в пробе	Число случаев наблюдения	Относительная частота	Вероятность	Теоретическая частота
0	112	0,216	0,213	110
1	168	0,325	0,328	173
2	130	0,251	0,253	131
3	69	0,133	0,130	67
4	32	0,062	0,050	25
5	5	0,010	0,016	8
6	1	0,002	0,004	2
7	1	0,002	0,001	1
	n=518

Распределения случайных частиц золота прекрасно описывается пуассоновской формулой.

► Среднее количество вирусов гриппа в 1м³ воздуха равно 100. Отбирается проба объемом 2дм³. Найти вероятность того, что в этой пробе содержится хотя бы один вирус. Каким должен быть объем пробы, что бы вероятность того, что в ней будет хотя бы один вирус, ≥0,99?

Считаем распределение вирусов в пространстве по-пуассоновски.

, ,

2. V - ?

1. Случайный поток событий.

Случайным потоком событий называется последовательность событий, появляющихся друг за другом в случайные моменты времени. Например:

1. поток вызовов на АТС;

2. поток вызовов на ремонт оборудования;

3. поток клиентов, приходящих в банк;

4. поток аварий на дорогах города и т.д.

Е сли нанести эти моменты на числовую ось, получим, что поток событий – это один из случаев случайного поля точек.

t₁ t₂ t₃ t₄ t

Замечание 1: Сами события не являются случайными; случайные моменты времени, когда они происходят.

Замечание 2: Если события появляются через строго определенные промежутки времени, то это не случайный, а регулярный поток.

В потоке событий рассматривается два с.в:

1. Количество событий, появившихся за время τ. Это дискретная с.в. с возможными значениями {0,1,2…∞}.

t₁ t₂ t₃ t₄ t

T₁ T₂ T₃

С.в. Т – интервал времени между двумя соседними событиями (время ожидания в потоке событий). Это непрерывная с.в. с возможными значениями на интервале (0:+∞).

Будем рассматривать потоки обладающие следующими свойствами:

1. стационарность потока: поток называется стационарным, если вероятность появления того или иного числа событий за время τ зависит только от длины этого интервала и не зависит от того, где на временной оси он находится. Появление событий во времени статически равномерно;

2. отсутствие последствия: поток называется потоком без последствия, если количество событий, появившихся за время τ не зависит от того, сколько их произошло за другой интервал времени не пересекающийся с данным;

3. ординарность: поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух и более событий за малое время Δt пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события ( события появляются по одному).

Ординарный поток без последствия называется пуассоновским потоком (требования 2 и 3). Если пуассоновский поток еще и стационарный, то это простейший поток (+ требование 1).

Основная характеристика потока – его интенсивность λ (средние число событий, происходящих в единицу времени). В стационарном потоке λ=const, в нестационарном потоке λ зависит от времени: