05_Геометр представление событий (Лекции)

§5. Геометрическое представление событий и их вероятностей.

Диаграммы Эйлера.

Новые определения.

Многие задачи, связанные со случайными событиями и с подсчетом вероятностей случайных событий гораздо удобнее и проще решать, если пользоваться изложенными в этом параграфе методами – геометрическим представлением событий. Метод был предложен Леонардом Эйлером.

Все возможные исходы опыта будем изображать точками единичного квадрата (квадрата со стороной, равной единице).

И
сходы, благоприятствующие событию А – точками области А.

Изобразим достоверное и невозможное события.

По классическому определению для подсчета вероятности нужно подсчитывать количество исходов: благоприятствующих А, и всех возможных.

Геометрически исходы изображаются точками. Измерить количество точек можно площадью. Поэтому общее количество исходов интерпретируем как площадь квадрата (равна 1). Количество исходов, благоприятствующих событию А – площадью круга А. Вероятность события – это отношение этих двух площадей:

( 12 )

Чем больше у события благоприятствующих исходов, тем больше точек включается в круг А, тем больше его площадь, т.е., вероятность события. Максимально возможная площадь – это площадь всего квадрата, т.е. единица.

Изобразим операции над событиями: сумму и произведение.

Сумма ( она же объединение ) событий А и В включает в себя все исходы, принадлежащие А (при них появляется событие А)

и все исходы, принадлежащие В

(при них появляется событие В)

объединение исходов

Произведение ( оно же пересечение ) событий А и В включает в себя все исходы, принадлежащие

обоим событиям А и В одновременно.

пересечение двух множеств исходов

Это наглядное представление очень облегчает решение многих задач и позволяет анализировать свойства вероятностей. Мы будем его постоянно использовать, когда будем строить формулы для:

• вероятностей суммы событий и

• вероятностей произведения событий

А сейчас рассмотрим примеры:

Пример 1:

Опыт – извлечение одной карты из колоды.

С обытие А – появление туза

Событие В – появление туза черной масти

Что представляют собой события: A + B, A · B ?

И зобразим геометрически множества исходов каждого события, учитывая, что событие B

это частный случай события A

Теперь совершенно очевидно, что

A + B = A , A · B = B .

Пример 2:

Используя геометрическое представление событий, определить:

ч то представляют собой события: A + U, A · U, A + V, A · V ?

Попробуйте разобрать этот пример самостоятельно. Ответы проверьте, посмотрев в конец параграфа.

Дадим несколько новых определений:

О6 События А и В называются совместными, если появление одного

не исключает появления другого в том же опыте.

О7 События А и В называются несовместными, если появление одного

исключает появления другого в том же опыте.

Пример 1:

Опыт – бросание монеты.

События: А – появление герба, В – появление решки.

События несовместные, они не могут появиться вместе в одном опыте.

Пример 2:

Опыт – два человека стреляют в цель.

События: А – попадание 1-го, В – появление попадание 2-го.

События совместные, они могут оба попасть в цель.

Пример 3:

Опыт – бросание кубика.

События: А – выпадение четного числа очков.

В – выпадение числа очков, большего четырех.

Выпишем исходы, из которых состоят эти события:

А = { 2, 4, 6 } В = { 5, 6 }

Эти события появятся вместе, если выпадет { 6 } они совместны.

Общее правило: События совместны, если у них есть общие исходы.

Если общих исходов нет, события несовместны.

Геометрическое представление:

Замечание :

П роизведение событий – их совместное появление. Несовместные – не могут появиться вместе, т.е.

О8 События А₁ , А₂ , А₃ , . . . , А_n образуют полную группу если

в результате опыта обязательно появляется хотя бы одно из них.

Это же определение можно записать иначе, формулой:

События А₁ , А₂ , А₃ , . . . , А_n образуют полную группу если

A₁ + A₂ + … + A_n = U

Левая часть равенства – хотя бы одно событие, правая часть – обязательно.

Пример 1:

Опыт – бросание кубика.

События: А₁ – выпадение четного числа очков;

А₂ – выпадение числа очков, большего либо равного 5;

А₃ – выпадение 1;

А₄ – выпадение числа очков, меньшего либо равного 4.

Проверить, образуют ли они полную группу.

Чтобы ответить на этот вопрос нужно выписать исходы, из которых состоят эти события:

А₁ = { 2, 4, 6 }

А₂ = { 5, 6 }

А₃ = { 1 }

А₄ = { 1, 2, 3, 4 }

Перебираем по порядку все возможные исходы опыта и проверяем, появляются ли перечисленные выше события:

Выпадает { 1 } – появляются А₃ и А₄ ;

Выпадает { 2 } – появляются А₁ и А₄ ;

Выпадает { 3 } – появляется А₄ ;

и т.д.

Убеждаемся, что какое бы число ни выпало, обязательно появляется одно или несколько из записанных событий. Значит, эти события образуют полную группу.

Пример 2:

Опыт – пытаются поступить на работу в банк два выпускника ДУЭП.

События: А₁ – первого из них в банк приняли;

А₂ – на работу приняли только одного.

Проверить, образуют ли они полную группу.

Выписываем все возможные исходы опыта, используя для удобства такую символику

₁ = { + , + } – первого приняли, второго приняли

 ₂ = { + , – } – первого приняли, второго нет, и т.д.

 ₃ = { – , + }

₄ = { – , – }

Теперь рассмотрим, из каких исходов состоят заданные события:

А₁ = { ₁, ₂ }

А₂ = { ₂, ₃ }

Убеждаемся, что при появлении исхода ( ₄ ) ни одно из записанных событий не происходит. Следовательно, эти события не образуют полную группу.

Замечание :

Для того, чтобы некоторый набор событий составлял полную группу

все исходы опыта должны быть между этими событиями распределены.

Геометрическое представление полной группы:

Полная группа

Все исходы опыта

распределены между событиями

О 9 Два события А и А называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу:

Это же определение тоже можно записать формулами:

Два события А и А называются противоположными, если

Пример 1:

О пыт – бросание кубика.

События: А – выпадение числа очков, большего 4;

А – выпадение числа очков, меньшего либо равного 4.

Замечание :

Обычно, не задумываясь, говорят, что противоположным к больше 4 будет слово меньше. Но при этом теряется один исход: равно 4. И тогда нет полной группы.

Пример 2:

Опыт – бросание точки случайным образом на числовую ось

С обытия: А – точка попадает в область ( -4 ≤ x < 5 );

А – ( –∞ < x < – 4) или ( 5 ≤ x < + ∞)

Пример 3:

Событие B = A ₁· A ₂ + A ₁ · A ₂ .

Что представляет собой событие B ?

Здесь событие B связано с появлением или непоявлением некоторых двух событий A ₁ и A _2. Перечислим все возможные исходы, связанные с появлением или непоявлением этих событий:

₁ = { + , + } – первое событие появилось, второе появилось;

₂ = { + , – } – первое событие появилось, второе нет, и т.д.

₃ = { – , + }

₄ = { – , – }

Событие B включает в себя исходы ₃ и ₁ : B = { ₃ , ₁ }.

В противоположное B нужно включить все оставшиеся исходы:

B = { ₂ , ₄ } = A ₁· A ₂ + A ₁ · A ₂.

.

А теперь пример, который будет очень важным для нас, когда мы будем подсчитывать вероятность суммы событий

Пример 4:

Событие B = A ₁+ A ₂ + A ₃ .

Что представляет собой событие B ?

Событие B это сумма, т.е., появление хотя бы одного из слагаемых.

Хотя бы одного – это значит: или одного, или двух, или всех трех.

На долю противоположно события остается один исход:

не появление ни одного.

И так: B = A ₁· A ₂ · A ₃

Выделим особо этот полученный результат. Он нам очень понадобится в дальнейшем:

Ответ к примеру:

Пример 2:

Используя геометрическое представление событий, определить:

ч то представляют собой события: A + U, A · U, A + V, A · V ?

A + U = U, A · U = A,

A + V = A, A · V = V .

Это, кстати означает, что:

событие U играет среди событий ту же роль, что и число 1 среди чисел,

событие V играет среди событий ту же роль, что и число 0 среди чисел.