Dmitriev4 (Лекции Дмитриева), страница 2

Предположим, что существуют две собственные функции и . Тогда они должны быть линейно независимы. Но при выполняется граничное условие

Т.к. отличное от нуля решение , то однородная алгебраическая система должна иметь определитель, равный нулю. Следовательно,

при

при

– линейно зависимы

возможна только одна собственная функция для данного .

Т е о р е м а 25.2. Собственные функции и для разных собственных значений ортогональны с весом , т.е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Т.к. и удовлетворяют одним и тем же краевым условиям, то из формулы Грина имеем

Подставим , получим

что и требовалось доказать.

Т е о р е м а 25.3. Для граничных условий I или II рода (или ); (или ) и при все собственные значения задачи Штурма - Лиувилля положительны, .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Умножим уравнение Штурма - Лиувилля при на и проинтегрируем по . Тогда

.

Откуда найдем:

.

Проинтегрировав по частям и учитывая граничные условия, получим;

.

Окончательно получим:

,

т.к. , то имеем .

Д о п о л н е н и е. Результат теоремы 25.3 переносится и на третье краевое условие , если и на условие , если .

п.26. Редукция задачи Штурма-Лиувилля к

интегральному уравнению.

Запишем задачу Штурма - Лиувилля в виде неоднородной задачи:

(26.1)

Т.к. не является собственным значением, следовательно, с помощью функции Грина (22.7) имеем:

Если ввести новую функцию , то интегральное уравнение запишется в виде:

(26.2)

.

Т.к. , то ядро , т.е. (26.2) – интегральное уравнение с симметричным ядром, и мы можем использовать теорию Шмидта.

Интегральное уравнение (26.2) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Интегральное уравнение (26.2) эквивалентно задаче на собственные значения (26.1), т.е. решение (26.2) является решением (26.1) и наоборот.

Из теории интегральных уравнений с симметричным ядром:

1. Если число собственных значений интегрального уравнения (26.2) конечно, то ядро уравнения называется вырожденным и представимо в виде:

. (26.3)

2. Справедлива теорема Гильберта - Шмидта: если правая часть интегрального уравнения

, (26.4)

функция истокообразно представима, т.е. такая, что

, (26.5)

то может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся на ряд по собственным функциям интегрального уравнения

. (26.6)

Т е о р е м а 26.1. Ядро интегрального уравнения (26.2) является невырожденным, а, следовательно, у него и у задачи Штурма - Лиувилля существует бесконечное (счетное) множество собственных значений и соответствующая им бесконечная последовательность собственных ортонормированных функций.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Предположим, что ядро вырожденное

. (26.7)

Интегральное уравнение (26.2) имеет собственные функции те же, что и дифференциальное уравнение они непрерывны и дифференцируемы на .

Тогда из (26.4) тоже непрерывная дифференцируемая функция, но это противоречит условию скачка при . Следовательно, – невырожденное ядро и имеет и – счетное число собственных значений и собственных функций. Функции – ортонормированные

Ортогональность с весом .

п.27. Решение неоднородного интегрального уравнения с симметричным ядром. Теорема Стеклова.

Используя теорему Гильберта-Шмидта, мы можем получить решение неоднородного интегрального уравнения (26.4) в виде разложения по собственным функциям . Умножив скалярно (26.4) на , получим

, (27.1)

где .

Т.к. ядро симметрично, то, согласно определению собственных функций (26.6), получим:

. (27.2)

Подставив (27.2) в (27.1), найдем

или

.

Откуда получаем

.

Зная , мы можем найти решение неоднородного интегрального уравнения:

. (27.3)

Эта формула работает для истокообразно представимых .

Разложением решения задачи по можно решать неоднородные дифференциальные уравнения. Обоснованием этого является следующая теорема.

Т е о р е м а 27.1. Теорема Стеклова.

Если дважды непрерывно дифференцируемая на функция удовлетворяет однородным граничным условиям и , то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на ряд по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Т.к. – дважды непрерывно дифференцируемая функция, то , где – непрерывная функция. Т.к. удовлетворяет краевым условиям, то она представима через функцию Грина в виде:

,

т.е. – истокообразованное представление функции по теореме Гильберта-Шмидта

,

,

причем .

Используя теорему Стеклова, мы можем решать неоднородную краевую задачу разложением по собственным функциям.

Имеем задачу

и не является собственным значением.

Разложим решение в ряд по :

Учитывая, что

получим

.

Откуда находим

или

.

Мы получили выражение для решения нашей задачи через правую часть и собственные функции, соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.

п.28. Поведение решения задачи Штурма-Лиувилля при , если .

Пусть при и при .

Тогда относительно и – линейно независимых решений задачи Штурма - Лиувилля. можно доказать следующее утверждение.

Л е м м а 28.1.

Если при и – ограничена, при , а ограничено (или может при ), то для ограниченного в точке решения задачи Штурма - Лиувилля выполняется условие

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. – ограничено. Тогда проинтегрируем уравнение

.

Откуда

,

.

Покажем, что – непрерывно и ограничено на , причем .

Т.к. , то

.

Интеграл сходится, если .

2. Случай при , – дифференцируемая функция. Легко показать, что ограниченная монотонна при , где , (т.к. , то такое, что при ), Если немонотонна при , то она имеет или отрицательный или положительный .

В этой точке

, но , а

Пришли к противоречию монотонна при

– монотонна ( – монотонна) и имеет конечный или бесконечный предел. Если предел , то согласно случаю 1 он Окончательно

.

Л е м м а 28.2.

Если и – линейно независимые решения уравнения , а , то, если – ограниченная функция, , то – неограниченная функция при .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Согласно (22.4) из

или (т.к. – ограничена)

.

Если при , то интеграл расходится при – неограничена при . Если при , то имеем неопределенность, которую раскрываем по Лопиталю

,

согласно лемме 28.1.

Л е м м а 28.3.

Если в лемме 28.2 функция при , а , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

по теореме о среднем . Интегрируя получим искомое.

п.29. Уравнение Бесселя. Построение решения в виде степенных рядов.

Уравнением Бесселя называется уравнение

(29.1)

– называется цилиндрической функцией -го порядка. Т.к. , то одна цилиндрическая функция ограничена, а другая имеет особенность при .

Решение уравнения Бесселя легко получить в виде степенного ряда. Из (29.1) имеем

Представим

. (29.2)

Подставим в уравнение, тогда

или

.

Считая , возьмем , тогда

.

Считая , получим

и т.д.

и т.д.

.

Таким образом определяется с точностью до постоянного множителя.

При выборе получим Бесселеву функцию первого рода -го порядка.

– гамма функция

.

Для берем из .

При ,

имеем

.

Это при , а при отрицательных имеем – целое)

.

Это продолжение Г(х) на отрицательное, но нецелое. – ограниченное решение, – неограниченное решение. Это линейно независимые решения.

Если , то легко показать, что ,

,

т.к. при .

Введя , получим

.

При целых линейно независимой функцией к является функция Неймана или функция Бесселя второго рода n-го порядка.

73