Dmitriev4 (Лекции Дмитриева)

Часть II.

Краевые задачи и вариационное исчисление.

п.21. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Формула Лагранжа.

1. В краевой задаче условия задают не только в начальной точке , т.е. задача не локальна. Для уравнения 2-го порядка условие на двух концах и .

2. Физически имеем два случая:

– имеется временной отрезок , надо найти решение задачи, когда при частичных начальных данных в мы получим решение, обладающее некоторыми данными в конце при .

– имеется пространственный отрезок и на обоих его концах (краях) заданы условия (граничные). Математически это выглядит одинаково.

3. Для уравнения n-го порядка

,

при ,

при Г ,

4. Для систем дифференциальных уравнений

,

,

5. В практике наиболее широко используются уравнения 2-го порядка

(21.1)

Задачу всегда можно свести к неоднородному уравнению с однородным краевым условием. Пусть – некоторая функция, такая, что Тогда введем и получим

(21.2)

6. Задача на собственные значения (как задача с обратной линейной связью, т.е. )

(21.3)

Требуется найти такие (собственные значения), для которых существует нетривиальное решение краевой задачи (21.3) (собственные функции).

Рассматриваем функции , заданные на , непрерывные, дифференцируемые и имеющие непрерывную вторую производную, т.е. . Решением краевой задачи (21.2) называется , которое удовлетворяет уравнению и краевым условиям при и при

Любые удовлетворяют тождеству Лагранжа

, (21.4)

Т е о р е м а 21.1. Если и – линейно независимые решения однородного уравнения , то их определитель Вронского равен

, (21.5)

причем при , общее решение можно представить в виде:

. (21.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Из тождества Лагранжа (21.4) при следует

, (21.7)

следовательно, справедливо (21.5).

Если , то разделив (21.7) на , получим (при ), ( – независима от )

или

.

Проинтегрировав, получим окончательно

,

т.е. получили (21.6). Теорема доказана.

п.22. Формула Грина. Построение решения краевой

задачи с помощью функции Грина.

Проинтегрируем формулу Лагранжа (21.4) и получим

. (22.1)

Это выражение называют формулой Грина. Если и удовлетворяют одним и тем же однородным граничным условиям, то при и . Откуда имеем

(22.2)

при .

Функция Грина для краевой задачи, имеющей единственное решение.

Пусть однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, а (или ) на интервале (т.е. для ).

Тогда функцией Грина такой задачи называется функция , являющаяся решением следующей задачи:

1. По при и .

2. При граничные условия

. (22.6)

3. при и , а при условия

сопряжения

.

С л е д с т в и е. .

Т е о р е м а 22.1. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то решение неоднородной краевой задачи для любой непрерывной на функции и выражается через функцию Грина в виде:

. (22.7)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказывается проверкой

,

,

.

Учитывая, что , получим

.

Следовательно,

Аналогично, , т.к. .

Теорема доказана.

п.23. Существование функции Грина. Постановка краевой задачи при существовании решения однородной задачи.

Мы показали, что решение неоднородной краевой задачи выражается формулой (22.7) с помощью функции Грина. Необходимо доказать функции Грина.

Построим 2 решения следующих задач Коши:

а. При б. При

, ,

, ,

. .

Заметим, что

, ,

. .

Функции и , т.к. есть теорема решения задачи Коши. Представим функцию Грина в виде:

Заметим, что

1. при .

2. При выполняются краевые условия .

3. Осталось доказать, что можно подобрать и так, чтобы выполнялись условия сшивания при

,

.

Функции – линейно независимы, т.к. не удовлетворяет однородному краевому условию при , иначе решение однородной краевой задачи. Тогда , а, согласно теореме 21.1,

. (23.1)

Следовательно, мы имеем:

.

Окончательно, получаем функцию Грина в виде:

(23.2)

где находится согласно (23.1). Легко видеть, что . Доказано существование функции Грина для случая, когда однородная задача имеет только тривиальное решение. Функция G единственна, т.к. однородная задача не имеет решений.

II. Рассмотрим теперь случай, когда однородная краевая задача имеет нетривиальное решение, причем других линейно независимых решений нет.

Рассмотрим для простоты I краевую задачу и пусть однородная краевая задача имеет решение , т.е.

(23.3)

Т.к. любая является решением задачи (23.3), то для единственности требуется дополнительное условие нормировки:

. (23.4)

Л е м м а 23.1. Необходимым условием разрешимости неоднородной краевой задачи является ортогональность правой части уравнения к решению однородной задачи (23.3) .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Применяя формулу Грина и учитывая, что и удовлетворяют однородному краевому условию, получим:

Откуда

. (23.5)

Л е м м а 23.2. Однородная краевая задача с дополнительным условием ортогональности решения к имеет только тривиальное решение, т.е. задача

(23.6)

имеет только решение .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Т.к. однородная краевая задача имеет единственное линейно независимое решение , то имеем . Тогда из условия ортогональности имеем

,

.

Таким образом, если однородная краевая задача имеет единственное нормированное решение

то постановка неоднородной краевой задачи в этом случае будет

(23.7)

т.е. дополнительные условия ортогональности правой части и решения к .

Первое условие согласно лемме 23.1, а второе согласно лемме 23.2. Осталось доказать решения поставленной задачи.

п.24. Обобщенная функция Грина и представление решения с ее помощью.

Обобщенной функцией Грина для краевой задачи, имеющей единственное нормированное решение однородной краевой задачи , называется функция , удовлетворяющая задаче:

1. По x уравнению , и .

2. По x граничному условию .

3. В т. условию сопряжения

.

4. Условию ортогональности к

.

Т е о р е м а 24.1. Обобщенная функция Грина существует и единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если было бы две обобщенные функции, то их разность удовлетворяла бы однородной краевой задаче и была бы ортогональна к . Согласно лемме 23.2 решение такой задачи решение единственно.

Докажем теперь .

Рассмотрим три функции:

1.

2. – линейно независимое с решение уравнения , причем ,

3. – решение задачи Коши

(24.1)

Отметим, что и иначе в этих точках , а функции и линейно независимы.

Легко показать, что выполняется соотношение

. (24.2)

Для этого применим к и формулу Грина

.

Учитывая свойства и , получим

.

Из .

Поэтому имеем (24.2)

.

Представим теперь обобщенную формулу Грина в виде:

.

Эта функция удовлетворяет уравнению , а другие условия для должны быть выполнены подбором

Граничные условия и условия сопряжения дают:

(24.3)

Учитывая, что и

, получим первые два уравнения системы в виде:

Откуда . Тогда вторая пара уравнений системы примет вид:

Эти два уравнения эквивалентны и дают:

.

Таким образом, имеем

. (24.4)

Мы из четырех уравнений получили только три решения, т.к. 3-е и 4-е уравнения были тождественны из-за соотношения (24.2).

Учитывая (24.4), получим в виде:

Подставив это выражение в условие ортогональности к , получим:

Откуда находим

Функция полностью определена и удовлетворяет всем условиям задачи. доказано.

Т е о р е м а 24.2. Необходимым и достаточным условием однозначности и разрешимости неоднородной краевой задачи является условие ортогональности правой части уравнения к собственной функции . При этом решение представляется через обобщенную функцию Грина в виде:

и оно ортогонально к .

Доказательство проводится проверкой удовлетворения всем условиям задачи, аналогично доказательству теоремы (22.1).

п.25. Задача Штурма-Лиувилля и ее свойства.

Задачей Штурма-Лиувилля называется задача на собственные значения для дифференциального уравнения , где

– непрерывная дифференцируемая функция,

– непрерывная функция на .

Постановка задачи.

Найти собственные значения , при которых однородная краевая задача

имеет нетривиальные решения, – cобственные функции. Предполагаем, что не является собственным значением.

Т е о р е м а 25.1. Если собственное значение задачи Штурма-Лиувилля, то ему соответствует единственная собственная функция .

Д о к а з а т е л ь с т в о.