Dmitriev2 (Лекции Дмитриева)

п.9. Непрерывность решений дифференциальных уравнений по начальным данным и параметрам.

Регулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Понятие о сингулярном возмущении.

Задача Коши как модель. Начальные данные и правая часть зависят от параметров модели.

Задачу всегда можно свести к параметрам в правой части.

П р и м е р

Введем , тогда

(9.1)

Достаточно рассмотреть один параметр .

Т е о р е м а 9.1. Если в задаче Коши (9.1) непрерывна по всем аргументам в области и удовлетворяет по переменной условию Липшица

всюду в , причем не зависит от и , то решение задачи (9.1) определено в и непрерывно по и .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Доказательство опирается на лемму Гронуолла – Беллмана.

Рассмотрим .

;

;

откуда

(9.2)

Следовательно,

. (9.3)

Используя условия Липшица по и непрерывность функции по , получим

.

По лемме Гронуолла - Беллмана имеем

.

Следовательно,

при , (9.4)

теорема доказана.

Изменения параметров задачи можно рассматривать как возмущение задачи. Тогда будем иметь:

невозмущенная задача (9.5)

возмущенная задача (9.6)

Как связано возмущенное решение с невозмущенным?

Теория возмущений - исследование асимптотики

Регулярное возмущение: это означает, что – удовлетворяет условиям теоремы и при эти условия не нарушаются, а разлагается в степенной ряд по . Для регулярно возмущенных задач выполняются следующие теоремы. (Доказываем для одного уравнения. Легко переносится на системы).

Т е о р е м а 9.2 Если правая часть в задаче Коши (9.1) непрерывна по всем переменным вместе с частными производными по в , то производная от решения по параметру непрерывная в .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Из (9.2) , разделив на , получим

При имеем

, (9.7)

т.к. и непрерывны, то (9.7) есть уравнение для

(9.8)

Правая часть линейна по решение для (9.8) и ! . Значит .

Теорема доказана.

Без доказательства приведем теорему о разложении решения возмущенной задачи по малому параметру .

Т е о р е м а 9.3. Пусть в области

функция обладает непрерывными и равномерно ограниченными частными производными по до порядка (n+1) включительно. Тогда существует сегмент на котором для решения возмущенной задачи (9.6) cправедливо асимптотическое представление

(9.9)

Неравенство Чаплыгина.

Если имеются две задачи Коши

причем в выполняются условия

и , то при имеем .

Сингулярное возмущение дифференциального уравнения

возникает, если при имеет нерегулярность, т.е. ведет себя особым (сингулярным) образом. Это, например,

не удовлетворяет условиям теоремы и ! решения

при и т.п.

Наиболее частый и практически важный случай – это малый параметр при старшей производной

(9.10)

или, соответственно, система с малым параметром при одной производной

(9.11)

п.10. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка и его свойства. Сведение к нормальной системе первого порядка. Существование решения.

. (10.1)

уравнение однородное,

уравнение неоднородное.

Т е о р е м а 10.1. Линейность уравнения сохраняется при замене переменного и линейном преобразовании функции

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1.

и т.д. линейная комбинация

Следовательно, сохраняется линейность уравнения.

2.

и т.д. все линейно. Приведя подобные члены, получим линейное уравнение.

Т е о р е м а 10.2. Для линейного дифференциального уравнения выполняется принцип суперпозиции

(10.2)

Применение принципа суперпозиции:

1) Для суммы правых частей

Это суммирование источников.

2) Разделение задачи Коши на неоднородную с нулевыми начальными данными и на однородную с начальными данными.

3) Разделение начальных данных для однородного уравнения.

4) Комбинация решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения.

Т е о р е м а 10.3. ( и ! решения на всем интервале).

Если коэффициенты и правая часть есть непрерывные функции при то решение и ! на всем интервале (т.к. условия теоремы и ! выполняются на всем интервале).

Линейное дифференциальное уравнение (10.1) сводится к нормальной линейной системе дифференциальных уравнений. Введем вектор-функцию

,

для которой получим нормальную линейную систему уравнений

(10.3)

В общем случае нормальная линейная система уравнений записывается в виде:

, (10.4)

где матрица . В дальнейшем мы будем подробно рассматривать линейную систему дифференциальных уравнений, т.к. уравнение n-го порядка сводится к частному случаю такой системы.

п.11. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Понижение порядка уравнения. Уравнение Риккати.

Рассмотрим линейное уравнение 2-го порядка

. (11.1)

Оно сводится к системе второго порядка введением вектор-функции , для которой получаем систему

или

. (11.2)

У линейного однородного уравнения ( ) можно понизить порядок, введя новую функцию

. (11.3)

Тогда

. (11.4)

Подставив (11.4) в (11.1) при , получим

. (11.5)

Полученное уравнение является уравнением Риккати.

Общий вид уравнения Риккати:

,

которое заменой искомой функции приводится к виду (11.5).

.

В уравнении (11.5) можно убрать член, содержащий , не изменяя коэффициента при с помощью замены искомой функции

. (11.6)

Тогда из (11.5) получим

. (11.7)

Если , то переменные разделяются и мы имеем

или

(11.8)

Тогда, согласно (11.3) и (11.6), получим

. (11.9)

Откуда

. (11.10)

п.12. Общая теория однородных линейных систем

обыкновенных дифференциальных уравнений.

Линейная однородная система

(12.1)

Если обозначить матрицу а то задача Коши

, (12.2)

– линейный оператор, следовательно, к нему применим принцип суперпозиции

. (12.3)

Через – обозначаем m-ое решение, чтобы отличить от m-ой производной .

Если , то где

Т е о р е м а 12.1. Пусть - "n" решений однородной системы

. (12.4)

Тогда матрица

удовлетворяет матричному уравнению

(12.5)

и, обратно, если матрица удовлетворяет уравнению (12.5), то ее столбцы есть вектора, являющиеся решением уравнения (12.4).

Доказательство проводится покомпонентным дифференцированием.

Т е о р е м а 12.2. Если - решение (12.5), то - постоянный вектор) удовлетворяет системе (12.4), а - постоянная матрица) удовлетворяет матричному уравнению (12.5).

Доказательство следует из принципа суперпозиций.

О п р е д е л е н и е . Векторные функции – линейно зависимы на интервале если ненулевой постоянный вектор такой, что выполняется тождество

при . (12.6)

Если условие (12.6) выполняется только при , то являются линейно независимыми.

О п р е д е л е н и е . Определителем Вронского для системы вектор- функций называется

. (12.7)

Т е о р е м а 12.3. Если решения однородной системы линейно зависимы на , то определитель Вронского для .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Из линейной зависимости следует такое, что . Это линейно однородная система для , следовательно,

Т е о р е м а 12.4. Если хотя бы для одного , то и для , и , следовательно, линейно зависимы на .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть при имеем Тогда , которые удовлетворяют системе уравнений Возьмем Согласно теореме 12.2 решение задачи Коши

Следовательно, по теореме единственности решения задачи Коши. Тогда для для

Т е о р е м а 12.5 (альтернатива). Определитель Вронского для решения однородной системы дифференциальных уравнений или для , что означает линейную зависимость или для что означает линейную независимость

п.13. Фундаментальная система решений и общее решение для линейной системы дифференциальных уравнений.

О п р е д е л е н и е. Фундаментальной системой решений (Ф.С.Р.) однородной системы уравнений называется "n" линейно независимых решений этой системы, а соответственно матрица называется фундаментальной матрицей системы.

Фундаментальная матрица является решением матричного уравнения

,

причем

Т е о р е м а 13.1. Фундаментальная матрица существует.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Решение задачи Коши

дает фундаментальную матрицу, т.к.

следовательно, по т.12.2 при и решения - линейно независимы.

Т е о р е м а 13.2. Если – фундаментальная матрица для однородной системы, то ее общее решение представимо в виде: , где - произвольный постоянный вектор.