Dmitriev2 (Лекции Дмитриева), страница 2

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Согласно т.12.2. есть решение однородной системы Надо показать, что мы можем удовлетворять произвольным начальным данным Коши , т.к. для

С л е д с т в и е. Решение задачи Коши для произвольных начальных данных представимо в виде

где импульсная функция является решением задачи Коши

. (13.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Из теоремы 12.2. следует где где

. (13.2)

Легко видеть, что и удовлетворяет (13.1).

п.14. Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Т е о р е м а 14.1. Если – фундаментальная матрица, а – частное решение уравнения , то общее решение неоднородного уравнения представимо в виде:

. (14.1)

Т е о р е м а 14.2. Частное решение неоднородной системы с нулевыми начальными данными выражается через импульсную функцию в виде:

, (14.2)

а общее решение задачи Коши с условием представимо в виде

. (14.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) (14.3) получается из (14.1) и (14.2), поэтому надо доказать (14.2).

2) Формула (14.2) получается вариацией постоянной

,

т.к. , то имеем

Т.к. ,

что и требовалось доказать, т.к. .

п. 15. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае некратных корней характеристического уравнения.

Частное решение однородной системы с постоянными коэффициентами будем искать в виде:

– постоянный вектор. (15.1)

Тогда

Для того, чтобы , необходимо

, (15.2)

где – характеристический многочлен для системы.

Т е о р е м а 15.1. Пусть – простые корни характеристического уравнения (15.2), а где - нетривиальное решение системы

(15.3)

Тогда образуют Ф.С.Р. системы

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Функции являются решением системы дифференциальных уравнений, поэтому достаточно доказать их линейную независимость. Доказательство от противного. Пусть они линейно зависимы, т.е.

(15.4).

Пусть (это не ограничивает общности), тогда запишем (15.4) в виде

.

Дифференцируя и умножая на , получаем

.

Дифференцируя и умножая на , получаем

и т.д. Получаем, окончательно

. (15.5)

Т.к. – различны и , то . Пришли к противоречию таких, что выполняется (15.4). Теорема доказана.

п.16. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений при кратных корнях характеристического уравнения.

Пусть – корень характеристического уравнения имеет кратность . Мы знаем из алгебры, что для матрицы с кратным собственным значением _k собственные вектора находятся из жордановой формы

(16.1)

где – собственный вектор, – присоединенные вектора.

Выберем решения нашей системы таким образом, чтобы для векторов, определяющих решения, получилась жорданова форма. Для этого выберем первое решение в виде , где – решение (нетривиальное) .

Выберем второе решение для в виде:

или (т.к. ), то получим для определения уравнение

. (16.2)

Если записать j - ое решение для в виде:

, (16.3)

тогда для получим жорданову форму (16.1). В алгебре известно, что если собственное значение матрицы кратности , то (16.1) дают линейно независимых векторов . Таким образом, приходим к утверждению

Т е о р е м а 16.1. Каждому корню характеристического многочлена системы (кратности ) отвечает решений, определенных (16.3), где является решением (16.1).

Т е о р е м а 16.2. Решения, определенные в т16.1, взятые для всех образуют Ф.С.Р.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Составим фундаментальную матрицу из решений

.

Заметим, что , тогда

(т.к. - линейно независимы)

для линейно независимы они составляют Ф.С.Р.

п.17. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Исследование уравнения 2-го порядка. Формула Остроградского-Лиувилля.

(17.1)

Исследуем однородное уравнение 2-го порядка

. (17.2)

Сведем уравнение (12.2) к системе двух уравнений с двумя неизвестными функциями . Тогда получим систему

,

или

, (17.3)

где

. (17.4)

В этом случае характеристическое уравнение имеет вид

или

.

Откуда

. (17.5)

Возможны три случая.

1. – действительные и отрицательные, причем различные. Общее решение т.к. – линейно независимые функции. Их определитель Вронского

.

При начальных данных и получим:

.

Эти колебания не осциллирующие, а затухающие ( апериодические).

2. корни комплексные, сопряженные

,

и – линейно независимые функции, т.к. их определитель Вронского не равен 0:

Общее решение

Решение осциллирует и затухает. Если , то (затухания нет) и имеем

– периодические колебания.

3. Если , то имеем кратные корни

.

Имеем одно решение .

Другим решением линейно независимым с является . Их определитель Вронского не равен нулю:

.

Общее решение .

Рассмотрим теперь вывод формулы Остроградского-Лиувилля. Пусть нам известно два независимых решения (17.2) и уравнения

(17.6)

Тогда определитель Вронского

.

Продифференцировав это выражение, получим

.

Подставим вторые производные из уравнения (17.6)

.

Тогда

Таким образом, мы получили

. (17.7)

Решение этого уравнения дает выражение определителя Вронского через первый коэффициент дифференциального уравнения :

(17.8)

Это формула Остроградского - Лиувилля. находим из начальных данных, а по (17.8) при Формула (17.8) позволяет получить общее решение уравнения 2-го порядка, если известно одно частное решение уравнения (17.6). Пусть – известное решение и  – общее решение. Тогда из (17.8) имеем

,

или

Окончательно,

. (17.9)

Формула (17.9) дает выражение для общего решения дифференциального уравнения 2-го порядка через известное одно решение и первый коэффициент уравнения .

41