KURS3A (Вордовские лекции)

49

...........................................................................................................................................

Умножим на и, складывая, получим (19.3).

С л е д с т в и е. Если , то

(19.4)

Из условия имеем алгебраическое уравнение n - степени, у которого в общем случае корней кратности , причем

(19.5).

Т е о р е м а 19.1.

Корню характеристического уравнения кратности отвечает частных решений уравнения (19.1)

, (19.6)

а функции (19.6) для всех образуют Ф.С.Р. для уравнения

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Т.к. , то для имеем

.

Тогда в соответствии с (19.3) при

т.к. =0 при а при Значит функции (19.6) есть решение уравнения (19.1).

2) Докажем линейную независимость функций (19.6).

Предположим противное, тогда

,

где в общем случае полином степени .

Пусть отличным от нуля является , причем max степень есть , т.е. При этом пусть имеет max степень Тогда делаем последовательно следующую процедуру

дифференцируем раз

.

Причем , у max степень и коэффициент при

Затем

.

Продифференцировав по раз, получим

и т. д.

Окончательно,

Откуда . Пришли к противоречию.

Т е о р е м а 19.2.Частное решение неоднородного уравнения , где - многочлен степени S . может быть представлено в виде:

1. Если - корень характеристического уравнения),

- полином степени S.

2. Если , - корень кратности , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из леммы 19.1 имеем

.

Откуда, если то

Если то

если

Возьмем тогда при

.

Сравнивая коэффициенты при разных степенях t. найдем по (метод неопределенных коэффициентов).

Так как мы знаем Ф.С.Р. и частное решение неоднородного уравнения. найдем общее решение. Если же правая часть более общая функция, то частное решение находится через переходную функцию j.

п.20. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Линейная однородная система

(20.1)

Если обозначить матрицу а то задача Коши

, (20.2)

- линейный оператор, следовательно, к нему применим принцип суперпозиции

. (20.3)

Через - обозначаем m-ое решение, чтобы отличить от m -ой производной .

Если , то

где

Т е о р е м а 20.1. Пусть - "n" решений однородной системы

. (20.4)

Тогда матрица

удовлетворяет матричному уравнению

(20.5)

и, обратно, если матрица удовлетворяет уравнению (20.5), то ее столбцы есть вектора, являющиеся решением уравнения (20.4).

Доказательство проводится покомпонентным дифференцированием.

Т е о р е м а 20.2. Если - решение (20.5), то - постоянный вектор) удовлетворяет системе (20.4), а - постоянная матрица) удовлетворяет матричному уравнению (20.5).

Доказательство следует из принципа суперпозиций.

О п р е д е л е н и е . Векторные функции - линейно зависимы на интервале если ненулевой постоянный вектор такой, что выполняется тождество

при . (20.6)

Если условие (20.6) выполняется только при , то являются линейно независимыми.

О п р е д е л е н и е . Определителем Вронского для системы вектор - функций называется

. (20.7)

Т е о р е м а 20.3. Если решения однородной системы линейно зависимы на , то определитель Вронского для .

До к а з а т е л ь с т в о.

Из линейной зависимости следует такое, что , Это линейно однородная система для , следовательно,

Т е о р е м а 20.4. Если хотя бы для одного , то и для , и , следовавтельно, линейно зависимы на .

Доказательство.

Пусть при имеем Тогда удовлетворяют с истеме уравнений Возьмем Согласно теореме 20.2 решение задачи Коши

Следовательно, по теореме единственности решения задачи Коши. Тогда для для

Т е о р е м а 20.5. (альтернатива). Определитель Вронского для решения однородной системы дифференциальных уравнений или для , что означает линейную зависимость или для что означает линейную независимость

п.21. Фундаментальная система решений и общее решение для линейной системы дифференциальных уравнений.

О п р е д е л е н и е. Фундаментальной системой решений (Ф.С.Р.) однородной системы уравнений называется "n" линейно независимых решений этой системы, а соответственно матрица называется фундаментальной матрицей системы.

Фундаментальная матрица является решением матричного уравнения

,

причем

Т е о р е м а 21.1. Фундаментальная матрица существует. Решение задачи Коши

дает фундаментальную матрицу, т.к. следовательно, по т.20.5 при и решения - линейно независимы.

Т е о р е м а 21.2. Если - фундаментальная матрица для однородной системы, то ее общее решение представимо в виде: , где - произвольный постоянный вектор.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Согласно т.20.2. есть решение однородной системы Надо показать, что мы можем удовлетворять произвольным начальным данным Коши , т.к. для

С л е д с т в и е. Решение задачи Коши для произвольных начальных данных представимо в виде

где импульсная функция является решением задачи Коши

. (21.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Из теоремы 20.2. следует где где

. (21.2)

Легко видеть, что и удовлетворяет (21.1).

п.22. Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Т е о р е м а 22.1. Если -фундаментальная матрица, а - частное решение уравнения , то общее решение неоднородного уравнения представимо в виде:

. (22.1)

Т е о р е м а 22.2. Частное решение неоднородной системы с нулевыми начальными данными выражается через импульсную функцию в виде:

, (22.2)

а общее решение - -в виде задачи Коши с условием

. (22.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) (22.3) получается из (22.1) и (22.2), поэтому надо доказать (22.2).

2) Формула (22.2) получается вариацией постоянной

,

т.к. , то имеем Т.к. ,

что и требовалось доказать, т.к. .

п. 23. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае некратных корней характеристического уравнения.

Частное решение однородной системы с постоянными коэффициентами будем искать в виде:

- постоянный вектор. (23.1)

Тогда

Для того, чтобы , необходимо

, (23.2)

где - характеристический многочлен для системы.

Т е о р е м а 23.1. Пусть простые корни характеристического уравнения (23.2), а где - нетривиальное решение системы

(23.3)

Тогда образуют Ф.С.Р. системы

До к а з а т е л ь с т в о.

Функции являются решением системы дифференциальных уравнений, поэтому достаточно доказать их линейную независимость. Доказательство от противного. Пусть они линейно зависимы, т.е.

(23.4) .

Пусть (это не ограничивает общности), тогда запишем (22.4) в виде

.

Дифференцируя и умножая на , получаем

,

Дифференцируя и умножая на , получаем

и т.д. получаем

. (23.4)

Т.к. - различны и , то . Пришли к противоречию таких, что выполняется (23.4). Теорема доказана.

п.24. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений при кратных корнях характеристического уравнения.

Пусть - корень характеристического уравнения имеет кратность . Мы знаем, что для него есть одно решение

, где - решение (нетривиальное) .

Если мы возьмем (как для уравнения n- го порядка) решение в виде . то получим, подставив в систему

или (это для не выполнили). Поэтому берем второе решение в виде:

или (т.к. ), то получим для определения уравнение

. (24.1)

Если записать j - ое решение для в виде:

. (24,2)

Тогда для получим систему

жорданова форма (24.3)

В алгебре известно, что если собственное значение матрицы кратности , то система (23.2) дает линейно независимых векторов .

- собственный вектор, - присоединенные вектора. Таким образом, приходим к утверждению.

Т е о р е м а 24.1. Каждому корню характеристического многочлена системы (кратности ) отвечает решений, определенных (24.2), где является решением (24.3).

Т е о р е м а 24.2. Решения, определенные в т24.1, взятые для всех образуют Ф.С.Р.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Составим матрицу решений

.

Заметим, что , тогда

(т.к. - линейно независимы)

для линейно независимы они составляют Ф.С.Р.

Часть IV.

Исследование устойчивости задачи Коши.

п.25. Основные понятия теории устойчивости. Устойчивость решения линейной системы.