KURS2 (Вордовские лекции)

30

.

Окончательно получаем уравнение для

. (8.3)

Это уравнение разрешено относительно производной. Найдем его общее решение .

Тогда

. (8.4)

Решение найдено. С - определено из начальных данных.

Общий случай введения параметра.

Уравнение (8.1). Введем имеем

. (8.5)

(8.5) определяет поверхность в пространстве . Зададим эту поверхность параметрически

Найдем уравнение для от .

Так как , то,подставив

,

получим

.

Откуда

. (8.6)

Получили уравнение в , которое разрешенно относительно производной .

n.9 Особые решения уравнения I-го порядка, неразрешенного относительно производной.

Особым называется такое решение, во всех точках которого нарушается единственность решения задачи Коши.

Рассмотрим вначале уравнение разрешенное относительно производной . Нарушение единственности будет там, где нарушаются условия теоремы и !. Если - неограничено, то условие Липшица не выполнено и единственность нарушена.

Например :

.

Решение уравнения

.

Функция является особым решением .

Рассмотрим общий случай

.

Если бы разрешили это уравнение, то для соответствующей ветви мы могли бы вычислить . В соответствии с правилом дифференцирования неявной функции имеем

. (9.1)

Если - ограничено, то условием нарушения единственности будет

(9.2)

Таким образом, условием (необходимым) существования особого решения есть

или (9.3)

Исключив из системы (9.3) p, получим p-дискрименантную кривую , которая будет особым решением, если является решением .

П р и м е р 1

Система

- особое решение.

П р и м е р 2

Система

- особое решение, так как оно удовлетваряет уравнению

.

Другой подход для получения особых решений.

Пусть известен общий интеграл уравнения .

Это семейство решений. Особое решение есть огибающая этого семейства, т.е.

Исключая с получим с-дискрименантную кривую . Это особое решение, т.к. функция является решением дифференциального уравнения и в каждой точке нарушается единственность решения.

Для того чтобы разрешить относительно (или необходимо, чтобы одновременно не обращались в ноль и ,т.е. должно быть выполнено условие

.

Однако точки могут входить в огибающую т.к. при и .

Чтобы исключить эти точки, мы должны записать условия особого решения

(9.4)

П р и м е р:

.

общий интеграл

(т.к. ;

общее решение)

Откуда , а c - дискретная кривая , - особое решение.

Часть II .

Регулярные и сингулярные возмущения задачи.

п.10. Непрерывность и дифференцируемость решений дифференциальных уравнений по начальным данным и параметрам.

Задача Коши как модель. Начальные данные и правая часть зависят от параметров модели.

Задачу всегда можно свести к параметрам в правой части.

П р и м е р U(t)=U

Введем , тогда

(10.1)

Достаточно рассмотреть один параметр .

Т е о р е м а 10.1. Если в задаче Коши (10.1) непрерывна по всем аргументам в области и удовлетворяет по переменной условию Липшица

всюду в , причем не зависит от и , то решение задачи (10.1) определено в и непрерывно по и .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Доказательство опирается на лемму Гронуолла - Беллмана

Рассмотрим .

;

;

откуда

(10.2)

. (10.3)

Используя условия Липшица по и непрерывность по , получим

.

По лемме Гронуолла - Беллмана имеем

.

Следовательно,

при , (10.4)

теорема доказана.

Т е о р е м а 10.2 Если правая часть в задаче Коши (10.1) непрерывна по всем переменным вместе с частными производными по в , то производная от решения по параметру непрерывная в .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Из (10.2) ,разделив на ,получим

При имеем

, (10.5)

т.к. и непрерывна,то (10.5) есть уравнение для

(10.6)

Правая часть линейна по решение для (10.6) и ! .Значит .

Теорема доказана.

Неравенство Чаплыгина.

Если имеются две задачи Коши

причем в выполняются условия

и , то при имеем

п.11 Регулярно возмущенные системы дифференциаьных уравнений.

невозмущенная задача (11.1)

возмущенная задача (11.2)

Как связано возмущенное решение с невозмущенным.

Теория возмущений - исследование асимптотики

Регулярное возмущение- это означает, что - удовлетворяет условиям теоремы и при эти условия не нарушаются и разлагается в степенной ряд по .

Cингулярные возмущения- не удовлетворяет условиям теоремы и ! или не разлагается в ряд по , т.е.

Для регулярно возмущенных задач выполняются следующие 2 теоремы. (Доказываем для одного уравнения.Легко переносится на системы).

Т е о р е м а 11.1. Пусть в области функция обладает непрерывнымя и равномерно ограниченными частными производными по до порядка (n+1) включительно. Тогда существует сегмент на котором для решения возмущенной задачи (11.2.) cправедливо асимптотическое представление

(11.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Надо доказать всех производных

Доказательство проводится также, как для в теореме 10.2. Для этого, предполагая производных , разложим в ряд по

. (11.4)

Подставив (11.3) -(11.4) в(11.2) и приравняв коэффициенты при одной степени получим

(11.5)

Так как

и т.д.,

то расписав , получим уравнение для , для которого выполняются условия и ! решения.

Раз , следовательно, (11.3) cправедливо.

Т е о р е м а 11.2. (о существовании решения возмущенной задачи).

Пусть в области и непрерывны и равномерно ограничены Тогда, если и ! решения невозмущенной задачи (11.1),то при каждом достаточно малом решение возмущенной задачи(11.2) существует и единственно и имеет место равномерный относительно предельный переход

Д о к а з а т е л ь с т в о

Так как при каждом фиксированном в задаче (11.2) выполняются условия теоремы и ! решения, то нам остается доказать равномерный предельный переход.

Пусть Тогда

по лемме Гроуолла - Беллмана

.

Это выполняется для

равномерно по

п.12. Сингулярно возмущенные уравнения. Теорема Тихонова.

Сингулярное возмущение дифференциального уравнения

возникает, если при имеет нерегулярность,т.е.ведет себя особым (сингулярным) образом. Это, например,

не удовлетворяет условиям теоремы и ! решения

при и т.п.

Наиболее частый и практически важный случай - это малый параметр при старшей производной

(12.1)

или, соответственно, система с малым параметром при одной производной

(12.2)

Возникает вопрос: если в уравнении (12.1) или системе (12.2) положить и получить вырожденное уравнение ( или систему ) пониженного порядка

(12.1a)

или

(12.2a)

то как решение и связано с решением задач (12.1) и (12.2), т.е. как решение вырожденного уравнения ( или системы ) связано с решением невырожденного уравнения ( или системы ).

П р и м е р.

(12.3)

Вырожденное уравнение .

Рассмотрим решение (12.3).

( решение невырожденное )

(решение вырожденное )

Как связано и ?

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Рассмотрим систему

(12.4)

Вырожденная система

корень

Тогда вырожденное уравнение

О п р е д е л е н и е. Корень называется устойчивым, если выполняется неравенство

для (12.6)

Т е о р е м а Т и х о н о в а.

Если выполнены условия 1-5, то решение невырожденной системы на и имеет место предельный переход

(12.7)

Условия теоремы.

1. непрерывны вместе с частными производными по и в .

2. Корни - действительны и изолированы, а функции непрерывны вместе с производными по .

3. Выбранный корень является устойчивым корнем.

4. Решение вырожденной системы (12.5) для определенно в .

5. Начальное значение согласовано с корнем , т.е. или .

Объснить все условия. Теорема принимается без доказательства.

Исследование уравнения второго порядка.

(12.8)

a и непрерывны по u и t.

Перейдем к системе

(12.9)

При получаем вырожденную систему

(12.10)

Проверяем условия.

1. Выполнено.

2. При один корень .

3. Корень является устойчивым при , т.к.

для из ;

если , то корень неустойчив.

4. Вырожденная система

Решение и !, если непрерывна по и удовлетворяет условию Липшица по .

5. Начальные условия должны быть согласованы

Таким образом, при мы имеем предельный переход к решению вырожденной системы, при не имеем.

Вопрос при остается открытым.

Исследуем случай в частном случае .Тогда

(12.11)

Введем функцию

.

В результате имеем

, (12.12)