KURS2 (Вордовские лекции), страница 2

а для имеем уравнение с малым параметром

(12.13)

Вырожденное уравнение

два корня

.

Если , то устойчивый корень .

Если , то устойчивый корень .

Для согласования начальных данных необходимо, чтобы .

Часть III.

Исследование решения задачи Коши.

п.13. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка и его свойства. Существование решения.

. (13.1)

уравнение однородное,

уравнение неоднородное.

Т е о р е м а 13.1. Линейность уравнения сохраняется при замене переменного

и линейном преобразовании функции

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1.

и т.д. линейная комбинация

Следовательно, сохраняется линейность уравнения.

2.

и т.д. все линейно. Приведя подобные члены, получим линейное уравнение.

Т е о р е м а 13.2. Для линейного дифференциального уравнения выполняется принцип суперпозиции

(13.2)

Описав принцип суперпозиции

1) Для суммы правых частей

Это суммирование источников.

2) Разделение задачи Коши на неоднородную с нулевыми начальными данными и на однородную с начальными данными.

3) Разделение начальных данных для однородного уравнения.

4) Комбинация решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения.

Т е о р е м а 13.3. ( и ! решения на всем интервале).

Если коэффициент и правая часть есть непрерывные функции при то решение и ! на всем интервале (Т.к.условия теоремы и ! выполняются на всем интервале (любое ограничение )

п.14. Общая теория линейного однородного уравнения n-го порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.

Основной вопрос этой темы; как построить общее решение однородного линейного уравнения

Есть два определения общего решения.

1. Общим решением диффференциального уравнения является параметрически заданное семейство функций, которое при определенном выборе параметров дает возможность определить любое решение дифференциального уравнения (т.е. это множество всех не осбых решений уравнения).

2. Общим решением дифференциального уравнения является параметрическое семейство,которое при определенном выборе параметров определяет решение задачи Коши для начальных данных.

Эквивалентность этих определений. Достаточно доказать, что из (1) является решением из (2). Пусть мы имем общее решение из (1), тогда при каждое решение имеет различный набор начальных данных (если начальные данные одинаковы, то по теореме и ! они совпадают). Утверждение доказано.

С л е д с т в и е. Параметрическое семейство, определяющее общее решение зависит от "n" параметров т.к. в произвольной задаче когда "n" начальных данных.

Так как для линейного уравнения применим принцип суперпозиции, то взяв n-решение однородного уравнения:

построим параметрическое семейство

. (14.1)

Вопрос: всегда ли (14.1) дает общее решение?

Т е о р е м а 14.1. Для того,чтобы (14.1) представляло общее решение необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

(14.2)

в начальной точке был не равен нулю

. (14.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Возмем произвольные начальные данные Тогда необходимо определить из системы

Исследуем, что это за функции, удовлетворяющие условию (14.3).

Введем понятие линейно зависимых и линейно независимых систем функций.

О п р е д е л е н и е. Система функций линейно зависима на интервале если постоянные не все равные нулю, такие, что имеет место тождество

для (14.4)

В противном случае система функций называется линейно независимой.

Т е о р е м а 14.2. Если решения однородного уравнения линейно зависимы на интервале то определитель Вронского на этом интервале.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Т.к. - линейно зависимы, то такие, что для Продифференцировав это соотношение раз, получаем алгебраическую систему относительно для :

Раз для имеем

.

Т е о р е м а 14.3. Если для системы решений однородного уравнения определитель Вронского хотя бы для одного то эти решения линейно зависимы и для

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В точке для системы

причем .

Тогда удовлетворяет задаче Коши

для

Решение линейно зависимо из теоремы 14.2 следует для

Т е о р е м а 14.4. (альтернатива).

Определитель Вронского для системы решений однородного уравнения либо тождественно равен нулю: для и, следовательно, линейно зависимы, либо ни в одной точке и, следовательно, линейно независимы.

Справедливость утверждения теоремы следует из Т.14.3.

Сопоставляя результаты теорем 14.1. и 14.4., получаем, что общее решение однородного уравнения может быть получено в виде (14.1), если система решений является системой линейно независимых функций.

О п р е д е л е н и е. Фундаментальной системой решений (Ф.С.Р.) уравнения называется система из любых " " линейно независимых решений уравнения.