KURS1 (Вордовские лекции), страница 2

,

то функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на .

С л е д с т в и е.

Если - непрерывная функция и ряд сходится равномерно, то предел ряда -непрерывная функция.

Докажем, что ряд сходится, тогда .

Для этого построим можарантную оценку членов ряда (5.3)

,

(используя условия Липшица)

и т.д. получим по методу математической индукции

.

Мажорантный ряд сходится по признаку Даламбера

ю

Следовательно, функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса при и мы имеем предел

, (5.4)

причем - непрерывная функция.

Покажем теперь, что

, (5.5)

Так как удовлетваряет условиям 1), 2) теоремы 4.1, то , если (N-коэффициент Липшица).

Тогда такое, что при имеем из условия , что .

Тогда при , причем при .

Следовательно,

.

Отсюда следует, что при из

имеем

.

Продифференцировав получим

. теорема доказана.

п.6. Нормальные системы DУ. Теорема существования и единственность задачи Коши для нормальной системы и уравнения

n-ого порядка.

Нормальная система

Т е о р е м а 6.1. Если для всех удовлетворяет условиям

1) непрерывности по всем аргументам

одно и то же для ) ;

2) условию Липшица по , т.е.

для всех ,

то решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений существует и единственно на отрезке , где

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Строится эквивалентная система интегральных уравнений

.

1) Доказательство эквивалентности аналогично лемме 4.1 .

2) Доказательство единственности аналогично теореме 4.1, но только нужно учитывать векторный характер решения.

Пусть есть два решения

,

у которых не все равны , тогда не равна нулю функция

(K не зависит от к).

Из леммы Гронуолла - Беллмана имеем

.

Eдинственность доказана.

3) Доказательство существования аналогично теореме 5.1.

Строим итерационный процесc

(s - номер итерации).

Если , то все

т.е. для рассматриваем сходимость ряда .

Оценка : .

Дальше все аналогично теореме 5.1. Мажорантный ряд сходится по признаку Даламбера. Функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно к непрерывной функции по признаку Вейерштрасса.

такая, что

.

Так как интегральное уравнение эквивалентно решению задачи Коши задачи

,

то решение задачи Коши .

Существование и единственность решения уравнения n-ого порядка.

Имеем

(6.1)

Т е о р е м а 6.2. Задача Коши (6.1) для уравнения n-ого порядка разрешенного относительно старшей производной, правая часть которого удовлетваряет условиям

1) непрерывности по всем аргументам

2) удовлетваряет условию Липшица по аргументам

имеет решение и притом единственное.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Сведем к нормальной системе

.

Тогда имеем нормальную систему

Проверяем удовлетваряет ли условиям 1) и 2) теоремы (6.1)? Удовлетворяет. Следовательно, теорема 6.2 доказана.

n.7. Общий интеграл уравнения I- порядка. Интегральный множитель.

Уравнение всегда можно представить в виде

(7.1)

Если , а , то (7.1) уравнение в полных дифференциалах и мы имеем

. (7.2)

Следовательно, имеем

. (7.3)

Представление (7.3) - общий интеграл уравнения (7.1). Неявно представлено однопараметровое сесейство решений. Оно разрешимо, т.к. следовательно

. (7.4)

Если мы для уравнения (7.1) имеем задачу Коши , то и общее решение

. (7.5)

Это другое определение общего решения через задачу Коши для произвольного .

Чтобы найти явное выражение решения (7.4) необходимо, чтобы . Если в некоторой точке , а , то можно определить

. (7.6)

Если в некоторой точке одновременно и , то это особая точка.

Т е о р е м а 7.1. Необходимым и достаточным условием представления уравнения (7.1) в полных дифференциалах является условие ( если решение ).

1) Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и.

.

2) Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и.

Пусть

Возьмем , тогда

(это мы получим из и ).

Теорема доказана.

Общее решение можно записать в виде:

, (7.7)

если .

Предположим, что . Можно тогда поставить вопрос; существует ли такая функция , называемая интегрирующим множетелем, что

. (7.8)

Т е о р е м а 7.2. Если уравнение

имеет общий интеграл , то это уравнение имеет интегрирующий множитель.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Имеем

а из

,

Откуда имеем

такое что,

уравнение в полных дифференциалах.

Число интегрируемых множетелей бесконечно, т.к. если -интегральный множетель, то , также интегральный ,

где .

Т е о р е м а 7.3. Формула дает любой интегрирующий множитель уравнения (если его решение ).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть и два различных интегральных множителя

.

Так как Якобиан функции и равен нулю, то

или для .

С л е д с т в и е. Если известно два интегральных множителя при ,то условие дает общее решение дифференциального уравнения т.к.

- общее решение.

Как найти ?

Пусть

,

но такое, что

.

Откуда получим

1)Если , то

.

Если (функция только от t ), то

. (7.9)

2) Если (функция только y), то - функция только y и мы имеем

(7.10)

n.8 Дифференциальное уравнение I-порядка, неразрешенное относительно производной. Теорема существования и единственности решения.

Уравнение

. (8.1)

Т е о р е м а 8.1. Если в некотором замкнутом трехмерном параллелепипеде

с центром в точке ,где действительный корень уравнения , выполнены условия

а) непрерывна по совокупности аргументов вместе с частными производными и ;

б) ,

то в окрестности точки существует единственное решение уравнения (8.1),удовлетваряющее начальным условиям .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Условия а), б) дают, что в точке выполнены условия и ! неявной функции

,

причем - непрерывна по , а также непрерывна (это сильнее, чем условие Липшица по y.)

Следовательно, решение и ! .

Метод введения параметра.

Пусть уравнение разрешено относительно т.е.

. (8.2)

Обозначим (это введение параметра). Тогда предполагая решения уравнения (8.2), получим