15

Дифференциальные уравнения

Вводная лекция.

п.1. Понятие дифференциального уравнения и их систем.

Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Кратко о математическом моделировании. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной,то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных. Наш курс посвящен исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть на отрезке [0,T] определена n раз дифференциальная функция и ее производные Переменные образуют (n+2)-мерное пространство. Если в области определена функция то соотношение

(1.1)

называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Решением (1.1) называется n-раз дифференцируемая функция заданная на [0,T] и обращающая соотношение (1.1) в тождество. Порядком уравнения называется порядок старшей производной в (1.1). Уравнение разрешенное относительно старшей производной имеет вид:

. (1.2 )

Уравнение разрешенное относительно старшей производной легко записать в виде системы первого порядка

(1.3)

. .

Общий вид системы первого порядка, разрешенной относительно производных называют нормальной системой

. (1.4)

Решением системы (1.4) нызывают совокупность функций , определенных на отрезке [0,T], которые при подстановке в (1.4) обращают их в тождество. При моделировании могут быть непрерывными или разрывными, соответственно определяют функции . Мы будем считать в дальнейшем непрерывными функциями. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Задача для дифференциального уравнения или системы состоит из уравнения (или системы) и дополнительных условий, которые должны обеспечить существование и единственность решения этой задачи.

п.2. Математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Обыкновенные дифференциальные уравнения моделируют явления и процессы, которые описываются одной функцией или вектор-функцией одного переменного.

2.1 Временные процессы, где y(t)-характерезует изменение какого-либо параметра во времени. Обычно математическая модель описывает связь между , скоростью и ускорением процесса в виде:

(2.1)

или более простая модель,связывающая со скоростью , в виде:

(2.2)

Если мы имеем несколько параметров модели , связанных между собой и со скоростью и ускорением их изменения, то имеем системы дифференциальных уравнений в виде:

(2.3)

или, если связанны и ,

(2.4)

Система (2.4) является нормальной, а система (2.3) не является нормальной. Систему (2.3) можно перевести в нормальную, если ввести обозначения , где

.

Тогда имеем нормальную систему для

, (2.5)

где ,

.

2.2 Пространственные процессы, где y(t) описывает распределение параметра процесса вдоль оси Оx. Модели

(2.6)

или

. (2.7)

П р и м е р ы м а т е м а т и ч е с к и х м о д е л е й:

1. Радиоактивный распад

- масса распадающего вещества. Количество распадающего вещества пропорционально количеству и времени, т.е.

при имеем

. (2.8)

Решение дифференциального уравнения- . Дополнительные условия- , тогда задача

Решение задачи :

2. Размножение с миграцией

- численность популяции, изменяющейся во времени, - миграция. Уравнение имеет вид:

.

Его решение .

Дополнительные условия- . Тогда задача имеет вид:

Решение задачи:

.

3.Движение системы N материальных точек.

Система уравнений Ньютона

,

-масса, - радиус вектор i-ой точки, - сила воздействующая на i-ую точку.

Частный случай колебания маятника

.

При малых колебаниях и тогда уравнение имеет вид:

.

4. Прогибание упругого стержня.

Если стержень однороден, то вдоль стержня постоянное касательное натяжение . Тогда вертикальная сила в точке x, где смещение u(x). Если в каждой точке стержня действует внешняя сила то

.

Откуда

Рассмотрим частный случай , тогда получаем уравнение

и его решение

.

Дополнительные условия (закрепленные концы) - . Тогда задача

.

Ответ:

Часть I.

Исследование задачи с начальными данными.

п.3. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Понятие корректной постановки задачи. Лемма Гронуолла-Беллмана.

Рассмотрим вначале систему дифференциальных уравнений

. (3.1)

Ее решение представляет кривую в (n+1)- мерном пространстве Эта кривая называется интегральной кривой. Подпространство называют фазовым пространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией).(Пример из балистики).

Cистема (3.1) в каждой точке области D, где определена , определяет направление . Эта область с заданным направлением называется полем направлений. Кривые, определенные уравнением , называют изоклинами. Это кривые в поле направлений выделяют постоянный наклон.

П р и м е р для уравнения I порядка ; например, изоклины окружности

Семейство интегральных кривых однопараметрическое - это общее решение дифференциального уравнения. Если положить - фиксированное значение, то мы получаем частное решение. Для однозначности решения (опред. интегр. кривой) надо задать начальную точку, через которую проходит интегральная кривая .

Таким образом , задача Коши:

1) для уравнения I порядка

(3.2)

2) для системы уравнений I порядка

(3.3)

3) для уравнения n - ого порядка

(3.4)

.

Корректность постановки задачи (Адамар)

При данной постановке задачи решение должно

1) существовать

разрешимость ;

2) быть единственным

1) быть устойчивым по отношению

детерминированность ;

к правой части и начальным данным .

Формулировка устойчивости: для существует такое , что из условия

и следует , где

.

Мы последовательно должны рассмотреть все вопросы корректности задачи Коши.

Л е м м а Грокуолла - Беллмана.

Если непрерывная функция Z(t) удовлетворяет условию при

, (3.5)

то выполняется оценка

. (3.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Вначале выведем дифференциальную оценку.

Из при и

следует

. (3.7)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

2) Введем .

Подставим в (3.5)

(*) .

Тогда согласно (3.7) получаем

или, подставив в (*) ,имеем неравенство

.

Лемма доказана.

п.4. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения I - порядка, разрешенного относительно производной.

Т е о р е м а 4.1 Решение задачи Коши для дифференциального уравнения I- порядка, разрешенного относительно производной

(4.1)

единственно, если

1) непрерывна по t и y в области

2) удовлетворяет в области R условию Липшица по y т.е.

Л е м м а 4.1. Задача Коши (4.1) эквивалентна интегральному уравнению

. (4.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть решение задачи Коши (4.1) .Подставив в (4.1), получим тождество, которое можно проинтегрировать, и тогда имеем (4.2) решение задачи Коши (4.1) является решением интегрального уравнения (4.2). В обратную сторону,если решение интегрального уравнения (4.2), то в силу непрерывности по интеграл в (4.2) является дифференциальной функцией. Продифференцировав (4.2), получим (4.1) решение интегрального уравнения является решением задачи Коши. Лемма доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4.1.

Редуцируем задачу Коши в предположении решения к интегральному уравнению (4.2). Предположим,что оно имеет два решения и .Тогда их разность удовлетворяет соотношению

.

Сделаем оценку, используя условия Липшица

при ,

где выбирается так, что и можно использовать условия Липшица.

Так как , то по лемме Гронуолла - Беллмана при имеем

. Теорема доказана.

Дальше можно распространить на весь интервал . Для линейного уравнения единственность доказывается сразу для всего интервала.

п.5. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

Т е о р е м а 5.1. Решение задачи Коши (4.1) при выполении условий (1) и (2) теорема 4.1 существует в интервале , где , где в R.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как задача Коши эквивалентна интегральному уравнению (4.2), то докажем решения интегрального уравнения. Будем строить решение интегрального уравнения методом последовательных приближений.

. (5.1)

Легко видеть, что если то и , .т, к.

. (5.2)

Так как ,то по методу математической индукции все Теперь докажем, что предел .

Представим

ю (5.3)

П р и з н а к В е й е р ш т р а с с а.

Если функциональный ряд определен на и если существует сходящийся числовой ряд такой, что для всех и для справедлива оценка