Механика. Электромагнетизм.

9. Законы постоянного тока.

• Электрический ток это упорядоченное движение заряженных частиц (носителей тока). Количественными характеристиками электрического тока являются плотность и сила тока.

• Плотность электрического тока – вектор, направление которого совпадает с направлением упорядоченного движения положительных носителей тока, и равный по величине заряду, переносимому в единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную к току:

, (9.1)

где q, n и V – заряд, концентрация и скорость упорядоченного движения частиц.

• Силой тока I называется скалярная величина, равная отношению заряда dq переносимого через некоторую поверхность  за малый промежуток времени dt, к величине этого промежутка:

. (9.2)

Зная вектор j(r) в каждой точке пространства можно найти силу тока через любую поверхность :

. (9.3)

• Опыт показывает, что для многих тел плотность тока в данной точке в широких пределах пропорциональна напряженности электрического поля в той же точке:

. (9.4)

Величина (r) называется удельным сопротивлением вещества, из которого сформировано проводящее тело. Соотношение (9.4) носит название закона Ома в дифференциальной (локальной) форме.

• Для поддержания в проводнике постоянного тока в каком-то участке цепи должны действовать силы, перемещающие заряды против сил электростатического поля. Такие силы, в отличие от кулоновских, называют сторонними.

• Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи или на её участке (в источнике тока).

  • Закон Ома для участка цепи с ЭДС связывает силу тока, протекающего в участке, разность потенциалов на его концах ₁₂ и действующую на участке ЭДС ₁₂:

. (9.4)

Здесь (R + r) – полное сопротивление участка цепи. При движении вдоль участка от точки 1 к точке 2 знаки падения напряжения I(R + r) и ЭДС ₁₂ выбираются положительными, если направление тока и ЭДС источника совпадают с направлением обхода.

Величина называется электрическим напряже-нием на участке цепи 1-2.

• Закон Ома для однородного участка цепи (без ЭДС) устанавливает прямо пропорциональную зависимость между током I и приложенным к участку цепи напряжением U₁₂:

, (9.5)

где R – электрическое сопротивление проводника. Для проводника произвольной формы его можно рассчитать так:

R = , (9.6)

где S – площадь поперечного сечения проводника. В частности, для однородного проводника постоянного сечения длины l :

. (9.7)

• Из опыта известно, что при протекании электрического тока по проводникам часть энергии, приобретаемой зарядами в электрическом поле, переходит в тепло.

Для физически малого элемента проводника выполняется локальное соотношение (закон Джоуля – Ленца в дифференциаль-ной форме):

. (9.8)

Количество теплоты Q, выделяемое во всем проводнике при протекании по нему тока, определяется законом Джоуля – Ленца (в интегральной форме):

I²(R + r) = IU₁₂ = . (9.9)

Отметим, что соотношение (9.9) выполняется в неподвижном проводнике при отсутствии химических реакций.

• С помощью закона Ома в интегральной форме рассчитывают силы токов по заданным величинам ЭДС и полных сопротивлений только в простейших случаях, когда цепь можно свести к одному неразветвленному контуру. Для разветвленных цепей весьма удобно использовать так называемые правила Кирхгофа. Из закона сохранения заряда для стационарных токов следует первое правило Кирхгофа:

• алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (9.10)

Обычно токам, входящим в узел, приписывают знак плюс, выходящим из узла – минус.

Из закона Ома для неоднородных участков цепи следует второе правило Кирхгофа:

• алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме произведений сил токов на полные сопротивления в неразветвленных участках контура.

. (9.11)

Д ля применения второго правила Кирхгофа выбирается определенное направление обхода контура (по часовой стрелке или против неё). Знаки ЭДС и токов, входящих в равенства вида (9.11), считаются положительными, если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС и тока. Считается, что ЭДС направлена от отрицательного полюса источника тока к положительному.

Например, для узла а в схеме представленной на рисунке равенство (9.10) запишется в виде:

.

Для контура abcd при обходе по часовой стрелке можно записать второе правило Кирхгофа:

I₁(R₁+r₁) + I₂(R₂+r₂)  I₃(R₃ + r₃)  I₄R₄ = ε₁  ε₂  ε₃.

Составив систему уравнений (используя правила Кирхгофа), по заданным величинам , R_i и r_i можно найти значения сил токов, текущих по всем участкам анализируемой цепи.

При практическом использовании правил Кирхгофа направления токов в неразветвленных участках цепи и направления обхода контуров выбираются произвольно. Если в результате расчета получаемая величина силы тока положительна, то направление тока было выбрано правильно. В противном случае ток в действительности течет в направлении, обратном выбранному первоначально.

• Токи в сплошных средах. Законы Ома и Джоуля - Ленца приведены для случая, когда ток протекает по хорошо проводящим проводникам, окруженным изолятором (воздухом). Альтернативная ситуация реализуется при погружении металлических электродов, между которыми поддерживается постоянная разность потенциалов, в плохо проводящую среду. Определение тока и сопротивления в этом случае продемонстрировано в решении задачи 9.2 данного раздела.

• Задачи этого раздела обычно посвящены определению разности потенциалов, силы тока, сопротивления в электрических цепях по заданным остальным параметрам. При этом следует различать случай, когда токи локализованы в проводниках и когда они текут в сплошных средах между хорошо проводящими электродами.

Примеры решения задач

1. Н а рисунке изображена цепь постоянного тока, состоящая из трех источников тока и трех сопротивлений, включенных последовательно. ε₁ = 2 В, ε₂ = 5 В, ε₃ = 2 В, R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом. Определить разность потенциалов ₁  ₂ между точками 1 и 2. Внутренним сопротивлением источников тока и соединительных проводов пренебречь.

Решение:

З адав для определенности направление тока I в контуре по часовой стрелке, можно записать закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС: ₁  ₂ = I(R₁ + R₂)  ₂. Значение силы тока I получается из закона Ома для полной цепи с учетом направления включения источников тока: I = . Окончательно получается:

Как видим, оказалось, что ₁ < ₂. К такому результату приводит присутствие ЭДС ₂ между точками 1 и 2. В этом можно убедиться, построив ход потенциала  между этими точками (см. рисунок).

Задача.

1. Два металлических электрода произвольной формы разделены слабо проводящей средой заполняющей все пространство. Удельное сопротивление среды , её диэлектри-ческая проницаемость . Емкость указанной системы электродов равна С. Найти ток утечки I между электродами, если разность потенциалов между электродами равна .

Решение:

Линии плотности тока j в изотропной среде совпадают с линиями напряженности электрического поля E, поскольку в любой точке пространства j = E. Сила тока, текущего по среде, сквозь замкнутую поверхность , окружающую один из электродов равна

.

Используя теорему Гаусса, можно записать:

,

где q – заряд электрода,  – диэлектрическая проницаемость среды. Тогда “ток утечки” между электродами равен

.

Сопротивление R между обкладками связано с электроёмкостью системы соотношением:

(9.11)

Отметим, что оно справедливо только в однородных средах  = const,  = const.

Задача.

1. Два металлических шара радиусом a помещены на расстоянии l >> a друг от друга в бесконечную слабо проводящую среду с удельным сопротивлением . Найти электрическое сопротивление между электродами. Диэлектрическая проницаемость среды .

Решение:

Значительное удаление шаров позволяет считать их уединенными проводниками с электроемкостью:

С₁ = 4₀ a.

Эти емкости соединены последовательно (у них одна общая обкладка – Земля) и С_общ = С₁/2 = 2₀a. В соответствии с соотношением (9.11)

.

На первый взгляд мы получили неожиданный результат: сопротивление между электродами не зависит от расстояния l. Это связано с предположением о бесконечности среды, в которую помещены шары. При их удалении друг от друга увеличивается сечение области, где проходят линии тока, что и компенсирует в точности рост сопротивления за счёт увеличения l. Отмеченный эффект использовался ранее для уменьшения числа проводов в телефонных и телеграфных линиях: одним из проводников являлась земля между двумя помещенными в грунт электродами на краях линии.

Задача.

1. Металлический шар радиуса a окружен концентрической с ним металлической оболочкой радиуса b. Пространство между этими электродами заполнено однородной проводящей средой с удельным сопротивлением . Найти электрическое сопротивление R межэлектродного пространства. Рассмотреть случай b  .

Решение.