part1 (Куприянов А.К. - Лекции по курсу общей физики для географического факультета), страница 5

Доказательство этого утверждения следует из сравнения определения ускорения центра масс( 3-8 ) и выражения ( 3-13 ).

Примерами закона сохранения импульса могут служить отдача при стрельбе из огнестрельного оружия, реактивное движение, перемещение осьминогов и т.п.

Лекция 4. Динамика твердого тела.

§ 4-1. Кинематические соотношения.

Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко скрепленных друг с другом. Отсутствие такого закрепления существенно затруднило бы описание движения всего конгломерата точек. Для полного описания движения одной точки необходимо знать ее три координаты, поэтому для N точек число необходимых координат , а следовательно, и число уравнений для их определения составило бы 3N. Так как число N может быть как угодно большим, то возможности строгого решения системы из 3N уравнений весьма ограничены.
Кроме того характер движения тела как целого может быть различным. Обычно различают поступательное, вращательное и плоское движения. При поступательном движении все точки тела движутся по параллельным траекториям, так что для описания движения тела в целом достаточно знать закон движения одной точки. В частности, такой точкой может служить центр масс твердого тела. В этом случае задача описания движения тела решается с помощью теоремы о движении центра масс. При вращательном движении все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной оси. Скорости точек на любой из окружностей связаны с радиусами этих окружностей и угловой скоростью
вращения: v_i = [w r_i ]. Так как твердое тело при вращении сохраняет свою форму, радиусы вращения остаются постоянными и

= [ br_i] . ( 4-1 )

§ 4-2. Определение момента силы.

Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести понятие момента силы. При этом надо различать понятия момента силы

шему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси буравчика

§ 4-3. Основное уравнение динамики вращательного движения.

г де f_ik ( k = 1,2, ...N) представляют собой внутренние силы взаимодействия всех элементов с выбранным, а F_i - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i - элемент. Скорость v_i каждого элемента вообще говоря может меняться как угодно, но поскольку тело является твердым, то смещения точек в направлении радиусов вращения можно не рассматривать. Поэтому спроектируем уравнение ( 4-4 ) на направление касательной и умножим обе части уравнения на r_i :

r_i( m_i a_i )_t= r_i( r_i(f_i1)_t + r_i(f_i2)_t + ..... +r_i(f_iN)_t + r_i(F_i)_t . ( 4-4a )

В правой части получившегося уравнения произведения типа r_i(f_i1)_t представляют собой (согласно ( 4-3)) моменты внутренних сил относительно оси вращения, т.к. r_i и (f _i)_t взаимно перпендикулярны. Аналогично произведения r_i(F_i)_t являются моментами внешних сил, действующих на i-элемент. Просуммируем уравнения дви-

т ы сил М₁ = ( f₁₂) r₁sin(90⁰ - g) = (f₁₂) l₁₂ и M₂ = (f₂₁) r₂ sin(90⁰ - b) = (f₂₁) l₂₁ равны и противоположно направлены. На основании этого можно сделать вывод, что при сложении всех моментов внутренних сил они попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних сил обозначим S М_i , где M_i = [ r_i F_i].

Левая часть уравнения ( 4-4а ) с учетом (3 -7) представится в таком виде:

= = , ( 4-5 )

где величину принято называть моментом инерции твердого тела относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы тела относительно определенной оси. Как следует из определения момента инерции - это величина аддитивная. Момент инерции тела складывается из моментов инерции его отдельных элементов, которые можно рассматривать как материальные точки, т.е.

I = , где j_i = m_i - момент инерции материальной точки.

При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования используется интегрирование ( суммирование бесконечно малых величин). Если ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями, т.е.

I_произ = I_цм + m d ² . ( 4-6)

Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.

Таблица 2.

называют изменением момента импульса (радиус r_i внесен под знак дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса ) . Если