,

и искомую линейную скорость центра масс столба:

. (8)

Как видим, результат не отличается от ранее ранее полученного (4).

Задача

1. ( Крутильный баллистический маятник). К потолку на тонкой проволоке подвешен однородный деревянный стержень массы M = 400 г (рис.). Модуль кручения проволоки^*) равен D = 0,3 Нм/рад. В конец стержня попадает пуля массы m = 10 г, летевшая горизонтально и перпенди-кулярно стержню. С какой скоростью летела пуля, если пуля застряла в стержне, и он повернулся на максимальный угол ₀ = 0,8 рад?

Решение

Внешние силы, действующая на тела системы пуля–маятник – силы тяжести и реакции проволоки. Момент первой силы относительно точки О – вектор, лежащий в горизонтальной плоскости. Поэтому проекция этого момента на ось Z равна нулю. Т.о., момент импульса системы должен сохраняться вплоть до появления момента сил кручения подвеса, т.е. до начала поворота стержня. Запишем соответствующее равенство:

. (1)

Здесь учтено, что момент инерции – аддитивная величина, равная сумме момента инерции стержня I_z и пули относительно оси Z. Вспомним, что момент инерции тонкого стержня I_z относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к стержню равен (см. задачу 3.4 при  = /2):

. (2)

Это позволяет определить начальную угловую скорость вращения маятника сразу после соударения с пулей:

. (3)

Механическая энергия системы при этом не сохраняется – часть её переходит во внутреннюю в процессе абсолютно неупругого соударения (действуют неконсервативные силы).

Определить максимальный угол поворота маятника, однако можно, используя как раз закон сохранения механической энергии, но после неупругого соударения, когда в системе действуют только консервативные силы:

. (4)

Здесь в левой части – кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела (маятника с застрявшей пулей) сразу после окончания неупругого соударения. Считаем, что удар очень короткий и маятник не успевает повернуться за время соударения. В правой – потенциальная энергия системы, запасённая в результате деформации кручения упругого подвеса (аналог энергии деформированной пружины ). Значение этой энергии можно получить, рассчитав работу против момента упругих сил М_z = D при повороте тела на угол ₀:

. (5)

Учтено, что максимальное закручивание проволоки до угла ₀ определяется обращением в 0 кинетической энергии вращательного движения маятника^*). Используя равенства (2 – 4) приходим к искомому результату для скорости пули:

16 м/с.

Задача

1. Используя закон сохранения энергии, найти линейную скорость движения центра масс цилиндра, скатывающегося по наклонной плоскости без проскальзывания с высоты Н.

Решение

Движение будем рассматривать относительно системы отсчета, связанной с Землей. В механическую систему включим цилиндр, наклонную плоскость и Землю. Далее нужно выяснить, сохраняется ли механическая энергия в этой системе. Сила тяжести mg - потенциальна, сила реакции опоры F_р всегда перпендикулярна скорости цилиндра и работы не совершает. При отсутствии проскальзывания точка приложения силы трения F_тр неподвижна, поэтому работа этой силы также равна нулю. Следовательно, механическая энергия системы постоянна. Так как масса Земли несравненно больше массы цилиндра, будем считать Землю неподвижной. Тогда запись закона сохранения механической энергии системы имеет вид:

.

Величину определим из начальных условий: при t = 0 имеем y(0) = H, , ω(0) = 0. Получаем уравнение:

.

С учетом связи и выражения для момента инерции цилиндра находим скорость центра масс цилиндра в нижней точке плоскости (y = 0): .

Задача

1. Человек массой m переходит из центра вращающейся с угловой скоростью ω круглой горизонтальной платформы радиусом R и массой M на ее край. Найти угловую скорость вращения системы в новом состоянии и изменение кинетической энергии. Человека принять за МТ. Трением в оси платформы пренебречь.

Решение

Момент внешних сил относительно оси вращения OZ N_z = 0, следовательно, момент импульса системы “платформа + человек” M_z постоянен во времени.

, (1)

, (2)

, (3)

. (4)

Механическая энергия системы уменьшилась, благодаря наличию неконсервативных сил трения, совершающих отрицательную работу в процессе перемещения человека.

Задача

1. Определить вторую космическую скорость, т.е. скорость, которую необходимо сообщить телу для того, чтобы оно удалилось на бесконечно большое расстояние от Земли.

Решение:

На бесконечно большом расстоянии от Земли гравитационным взаимодействием ракеты с Землей можно пренебречь. Будем считать, что потенциальная энергия системы тел ракета – Земля в этом случае равна нулю. Тогда закон сохранения полной механической энергии для нее может быть записан в виде:

где U₀  потенциальная энергия взаимодействия ракеты с Землей у поверхности Земли.

Величина U₀ определяется работой силы тяготения при перемещении тела с поверхности Земли (r = R) на бесконечно удаленное расстояние: (см. 4.11), где R  радиус Земли. Проекция силы тяготения F_r определяется из закона всемирного тяготения: где m и М  массы ракеты и Земли, r  расстояние от центра Земли до ракеты. Тогда

Здесь использовано равенство ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Как мы видим, потенциальная энергия притяжения величина отрицательная. Окончательно из закона сохранения энергии получаем:

Задача

1. * Два одинаковых цилиндрических бака соединены узкой трубкой с краном посредине. Радиус баков R = 20 см, радиус трубки r = 1 мм. Длина трубки l = 1 м. Проходное отверстие крана совпадает с сечением трубки. В один из баков налита вода до высоты h = 50 см, второй бак был вначале пустой. В момент времени t = 0 кран открывают. Определить: 1) характер течения воды в трубке в первые секунды, 2) время , по истечении которого разность уровней воды в баках уменьшается в e раз. Вязкость воды принять равной  = 1·10^-3 Пас.

Решение:

Характер течения воды в трубке определяется числом Рейнольдса: (1)

З начение максимальной скорости течения воды в трубке V_max можно получить, используя формулу Пуазейля:

. (2)

С другой стороны поток Q равен произведению средней скорости истечения жидкости на площадь поперечного сечения трубки Q₀ = V_maxr². Выражая отсюда V_max, получаем максимальное значение числа Рейнольдса для течения воды в условиях данной задачи:

Re_max = <1000  т.е. течение ламинарное. (3)

Объем воды dQ, протекающий по трубке за время dt при произвольном значении разность уровней воды в баках h определяется по формуле Пуазейля:

(4)

Этот объем связан с изменением уровня воды dx в левом баке равенством dQ = R²dx. Изменение разности уровней в баках равно dh =  2dx, поэтому

(5)

Приравнивая правые части равенств (4) и (5), получаем дифференциальное уравнение:

= .

В результате разделения переменных имеем:

.

После интегрирования: , где С – постоянная интегрирования. Потенцируя последнее уравнение, получаем:

где  = ,

А = е^С – новая константа, которая находится из начальных условий. При t = 0, h = h₀, отсюда А = h₀. Окончательно имеем:

h = h₀  .

Отсюда  = 1/ = = 1,6  10⁴ с  4,5 час.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Два протона с энергией T = 0,5 МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают «лобовое столкновение». До какого минимального расстояния r_min они могут сблизиться, если учитывать только электрическое взаимодействие между ними?

2. Груз положили на чашку весов без толчка. Сколько делений n₀ покажет стрелка весов при первоначальном отбросе, если после успокоения качаний она показывает n₁ = 5 делений. Весы можно представить себе в виде пружинного динамометра.

3. Движущаяся частица претерпевает абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столкновения, если оно не было лобовым, частицы разлетятся под прямым углом друг к другу. Как будут двигаться частицы после центрального удара?

4. Навстречу друг другу летят две частицы с массами m₁ и m₂. Между ними происходит неупругий удар. Известно, что кинетическая энергия первой частицы в n = 20 раз больше, чем у второй. При каком соотношении масс после удара частицы будут двигаться в сторону частицы с меньшей энергией?

5. Может ли произойти ионизация атома ¹³³Cs ударом атома ¹⁶O с кинетической энергией T₀ = 4 эВ? Энергия ионизации _ион = 3,9 эВ.

6. В ядерной физике часто бывает нужно уменьшить скорость нейтронов, выделяющихся при ядерных реакциях. Это происходит, например, при упругом ударе нейтрона о медленно движущееся (практически – неподвижное) ядро углерода (графит) или ядро дейтерия (“тяжелый водород”). Во сколько раз уменьшится скорость нейтрона при упругом лобовом столкновении нейтрона с поящимся ядром углерода? Принять, что масса ядра углерода в n = 12 раз больше массы нейтрона. После лобового столкновения направление движения нейтрона меняется на противоположное.

7. Решить предыдущую задачу для случая соударения нейтрона с ядром дейтерия, массу которого можно принять равной удвоенной массе нейтрона.

8. Обруч и диск одинаковой массы катятся без проскальзывания с одинаковой скоростью движения их центров масс. Кинетическая энергия обруча равна при этом Т₁ = 40 Дж. Найти кинетическую энергию диска Т₂.

9. Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и от­катывается от нее. Скорость шара до удара о стенку V₀ = 11 см/с, после удара V = 9 см/с. Найти количество тепла Q, выделившееся при ударе.

10. Однородный стержень длиной l = 0,85 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Какую минимальную скорость необходимо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси. В исходном положении стержень покоился.

11. Стержень, описанный в предыдущей задаче, отклонили до горизонтального положения и отпустили. Определить скорость центра масс стержня в момент прохождения им положения равновесия?

12. * Однородный стержень длины l может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии l/3 от одного из концов стержня. Стержень, занимавший сначала горизонтальное положение, отпустили без толчка. Найти модуль линейного ускорения опускающегося конца стержня в момент, когда стержень составляет с горизонтом угол .

13. Однородному цилиндру сообщают начальный импульс, в результате чего он катится без проскальзывания вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью V₀. Какова скорость цилиндра на высоте h от основания? На какую максимальную высоту поднимется цилиндр? Как изменятся результаты для шара?

14. * Стержень длины l падает, скользя одним концом по гладкой горизонтальной поверхности. В начальный момент стержень занимал вертикальное положение и покоился. Найти скорость центра масс стержня в момент его приземления.

15. * Однородный стержень длиной l подвешен в вертикальном положении и может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Горизонтально летевшая пуля попадает в стержень и застревает в нем. На каком расстоянии x от верхнего конца должна находиться точка попадания пули, чтобы импульс системы “пуля – стержень” остался неизменным сразу после удара.

16. * Линейка массы m = 100 г и длины l = 30 см лежит на гладком столе. По линейке наносят удар в точке, отстоящей от её центра на расстояние а = 5 см. При этом линейке “мгновенно” сообщается импульс р = 610^-2 кгм/с. Найти расстояние от центра линейки до точки О линейки, которая не “почувствует” удара^*). Как движется линейка сразу после удара?

17. Человек массы m = 60 кг стоит на краю покоящейся горизонтальной платформы массы М = 120 кг, имеющей форму однородного диска. Платформа может вращаться без трения относительно оси, проходящей через ее центр. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется на прежнее место?

18. На стуле, который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси и обычно используется при лекционных демонстрациях под названием «скамьи Жуковского», сидит экспериментатор. Опишите, как будет двигаться скамья с экспериментатором в следующих случаях:

а) Экспериментатор неподвижен, в руках у него – ось, на которую насажено велосипедное колесо, которое может вращаться вокруг этой оси с малым трением. Экспериментатор поднимает колесо над головой и, удерживая ось одной рукой в вертикальном положении, другой рукой раскручивает колесо. б) Раскрутив таким образом колесо, наклоняет ось, придав ей горизонтальное положение. в) Экспериментатор наклоняет ось еще ниже, придав ей вертикальное направление, противоположное исходному (а).

1. В системе, описанной в предыдущей задаче, неподвижному экспериментатору дают в руки раскрученное колесо так, что, удерживая колесо над головой, он остается неподвижным. Как будет двигаться экспериментатор, если он а) повернет ось колеса горизонтально? б) повернет её вниз? Ответы необходимо обосновать.

2. * На старте установлена ракета массой М для запуска в вертикальном направлении. Каким должен быть расход топлива в единицу времени , чтобы обеспечить ракете начальное ускорение 2g? (g – ускорение свободного падения). Скорость истечения газов из сопла относительно ракеты считать постоянной и равной u.

3. * Найти скорость ракеты в тот момент, когда ее масса за счет сгорания топлива уменьшилась в e = 2,7 раза по сравнению с ее значением на старте. Начальная скорость ракеты равна нулю. Скорость газовой струи относительно ракеты равна u, постоянна и направлена против движения ракеты. Влиянием внешних сил пренебречь.

4. С поверхности Земли вертикально вверх запускают ракету массой М₀ = 1 кг. Масса газов, вылетающих из ракеты за единицу времени  = 0,1 кг/с. Какой должна быть скорость газов относительно ракеты u, чтобы она могла оторваться от Земли?

5. Цилиндрический сосуд высоты h = 0,5 м и радиуса R = 10 см наполнен доверху водой. В дне сосуда открывается отверстие радиуса r = 1 мм. Пренебрегая вязкостью воды, определить время , за которое вся вода вытечет из сосуда.

6. * В условиях предыдущей задачи найти закон движения уровня воды в сосуде h(t) и зависимость скорости его движения от времени V(t).

7. Площадь поршня шприца S₁ = 4 см², а площадь отверстия S₂ = 1 мм², ход поршня l = 40 мм. Пренебрегая вязкостью воды и трением поршня о стенки, определить, сколько времени будет вытекать из шприца вода, если давить на поршень с постоянной силой F = 5 Н.

8. По горизонтальной трубе радиуса R = 12,5 мм течет вода. Поток воды через сечение трубы Q = 3·10^-5 м³/с. Опреде-лить: 1) характер течения, 2) перепад давления на единицу длины трубы dp/dl. Вязкость воды принять равной  = 1·10^-3 Пас.

*⁾ Механическая энергия, очевидно, также сохраняется для изолированной системы тел (F_i = 0) в отсутствии внутренних неконсервативных сил.

*⁾ Газ можно считать несжимаемым при скоростях потока много меньше скорости звука.

*⁾ Коэффициент пропорциональности между возникающим вращательным моментом упругих сил и углом закручивания подвеса.

*⁾ Конечно, математически тождественную равенству (4) запись можно трактовать и как результат применения к маятнику теоремы о кинетической энергии Т = А₁₂ (см. решение предыдущей задачи).

*⁾ Т.е. ее мгновенная скорость будет равна нулю в момент удара.

78