5. Законы сохранения…

5. Законы сохранения импульса, энергии

и момента импульса. Элементы гидродинамики.

• Закон сохранения механической энергии.

Механическая система может быть представлена совокупностью n материальных точек (частиц) с массами , координатами и скоростями . Между ними действуют внутренние силы F_ij. Пусть внешние силы F_i, действующие со стороны тел, не включенных в систему, зависят только от координат – стационарные поля внешних сил. Под полной механической энергией системы будем понимать сумму кинетической и потенциальной энергий этих частиц:

. (5.1)

При этом потенциальная энергия обусловлена как взаимодействием частиц друг с другом – , так и с внешними стационарными полями – .

Если внутренние и внешние силы консервативны (см. с. 49), тогда для любых двух состояний системы механическая энергия неизменна:

₂  ₁ = 0 ,  = const . (5.2)

Отметим, что присутствие неконсервативных сил, которые не совершают работы, также не приведет к нарушению соотношений (5.2). Поэтому закон сохранения энергии в механике может быть сформулирован в наиболее общем виде так^*):

Если в системе тел и на систему действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия этой системы постоянна во времени.

При наличии неконсервативных сил (внутренних или внешних) величина  будет изменяться со временем, и это изменение определяется работой указанных сил:

. (5.3)

• Закон сохранения импульса.

Импульс механической системы (системы n материальных точек) определяется как векторная сумма импульсов частиц, образующих систему:

. (5.4)

Исходя из законов Ньютона, можно доказать, что производная по времени импульса такой системы равна сумме внешних сил, действующих на систему:

. (5.5)

Отсюда очевидно вытекает условие, при котором сохраняется импульс системы:

. (5.6)

Итак, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, в любой момент времени равна нулю, то полный импульс этой системы постоянен во времени.

Закон сохранения импульса оперирует векторными величинами, поэтому, если существует неподвижная ось (например, ось OХ), для которой сумма проекций всех внешних сил в любой момент времени равна нулю, то сохраняется компонента импульса вдоль этой оси. Математически это можно записать так:

, если .

Сам вектор Р и другие его компоненты (P_y и P_z в нашем примере) могут изменяться со временем.

Закон сохранения импульса предсказывает возможность ускорения отдельных тел системы за счет действия внутренних сил при обязательном сохранении полного импульса механической системы. Речь идет о так называемом реактивном движении, которое возникает при отделении от тела его частей, обладающих определенной скоростью u относительно этого тела. Такое движение описывается уравнением Мещерского

, (5.7)

где – темп изменения массы тела, F^внеш – равнодействующая внешних сил, действующих на тело.

• Закон сохранения момента импульса.

Для системы частиц (в частности, и для твёрдого тела) справедливо уравнение моментов (см. п.3):

, где M = ; = [r_j, ].

Отсюда следует формулировка закона сохранения момента импульса: если в любой момент времени сумма моментов внешних сил, действующих на тела системы, относительно неподвижной точки пространства равна нулю, то полный момент импульса этой системы постоянен во времени.

Приведенный закон является векторным. Следовательно, даже в случае , неизменной оказывается величина проекции момента импульса системы на некоторую неподвижную ось, для которой равна нулю алгебраическая сумма проекций моментов внешних сил. То есть,

если , то . (5.8)

В частности, для твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси OZ, , и при соблюдении условия (5.8) величина M_z будет постоянной и при возможных изменениях момента инерции I_z. Подчеркнем, что кинетическая энергия при этом непостоянна, ибо (см. 4.14).

Изменение величины T при вариациях I_z определяется работой внутренних неконсервативных сил в механической системе.

Применение законов сохранения может существенно упростить решение ряда задач по сравнению с динамическим подходом. Для некоторых задач это единственно возможный путь. Речь идёт о ситуациях, когда силы, действующие между телами на определённом интервале времени, неизвестны (например, при столкновении тел).

• Элементы гидродинамики.

Простейшей моделью является стационарное (ламинарное) течение несжимаемой жидкости или газа, в котором отсутствуют силы трения между слоями, характеризуемые вязкостью. Для любого сечения тонкой трубки тока при таком течении справедливы уравнения Бернулли

, (5.9)

и неразрывности струи:

SV = const. (5.10)

Здесь р – давление в движущейся жидкости или газе,  – плотность жидкости (газа), h – высота данного сечения площади S относительно произвольно выбранного уровня, V – скорость частиц жидкости в этом сечении. Уравнение Бернулли можно применять для реальной жидкости или газа^*), если выполнено условие:

, (5.11)

где L – характерный линейный размер сечения трубы, например её радиус R,  – коэффициент вязкости жидкости. Безразмерная величина в левой части равенства (5.11) носит название числа Рейнольдса Re. При выполнении условия (5.11) влияние вязкости невелико. Однако течение остается ламинарным только при числах Рейнольдса меньше критического значения:

. (5.12)

При протекании по трубе вязкой жидкости или газа в условиях ламинарности течения (Re < 1000) переносимый в единицу времени через поперечное сечение трубы объём жидкости Q (поток) определяется формулой Пуазейля:

. (5.13)

В этом соотношении первая дробь имеет смысл перепада давления на единицу длины трубы l, R – радиус трубы.

• Приступая к решению задач этого раздела, следует

• выполнить рекомендации раздела 2 данного пособия;

• выбирать направления осей системы координат инерциальной СО следует с учётом требований или соответствующих законов сохранения.

• Проанализировать, какие из законов сохранения или гидродинамические соотношения применимы в данных условиях.

Только после этого можно записывать соответствующие равенства.

Примеры решения задач

1. Вертикальный столб длины l падает, поворачиваясь вокруг опирающегося на землю нижнего конца. Какова линейная скорость центра масс столба в момент падения на землю?

Р ешение

Ответ на вопрос задачи можно искать двумя способами. В первом используется закон сохранения механической энергии, во втором – теорема о кинетической энергии. Конечно, отличие этих подходов определяется лишь выбором системы тел, включаемых в рассматриваемую систему.

а) Пусть система состоит из столба и Земли, на поверхность которой столб опирается нижним концом. Тогда сила тяготения между этими телами – внутренняя сила системы, а сама система замкнута (внешние силы не действуют). Так как сила гравитацион-ного взаимодействия консервативна, а сопротивлением воздуха мы будем пренебрегать, то полная механическая энергия системы не изменяется во времени вплоть до момента падения столба на землю (неупругий удар). Запишем равенство исходной энергии системы и механической энергии столба в произвольный момент времени до падения:

. (1)

Здесь учтено, что столб – твёрдое тело, совершающее при падении чисто вращательное движение относительно оси, проходящей через точку его опоры перпендикулярно плоскости рисунка (ось Z). Принято (нормировка потенциальной энергии), что нулевое значение потенциальной энергии гравитационного взаимодействия система имеет, когда центр масс столба оказывается на поверхности земли (столб упал).

Равенство (1) позволяет найти зависимость угловой скорости падающего столба от угла его отклонения от вертикального положения  :

. (2)

Если считать столб однородным тонким стержнем, то его момент инерции относительно выбранной оси равен и равенство (2) запишется в виде:

. (3)

Линейная скорость центра масс стержня равна

. (4)

В момент падения скорость центра масс

. (5)

б) По теореме о кинетической энергии её изменение равно работе над телом внешней силы

Т = А₁₂. (6)

Посмотрим, какой результат даёт применение этой теоремы к рассматриваемому случаю. В процессе падения столба его кинетическая энергия увеличивается благодаря действию момента силы притяжения Землёй. Проекция момента этой силы на ось Z равна . Работа силы при повороте твёрдого тела относительно оси согласно (4.6) равна

.

При падении столба угол меняется от 0 до /2. Следовательно:

. (7)

Изменение кинетической энергии равно её значению в момент падения столба:

. (8)

Сравнивая правые части выражений (7) и (8) получаем максимальную угловую скорость падения