, (2)

mg – F_p1 = 0, (3)

Mg + P – F_p2 = 0. (4)

В уравнении (2) учтено, что по 3-му закону Ньютона силы трения, действующие между грузом и доской, равны по величине и противоположны по направлению. По той же причине равны модули сил Р и F_p1:

Р = F_p1. (5)

Пусть приложенная к доске сила F такова, что груз не скользит по поверхности доски, – тела движутся совместно. Это позволяет записать очень простое уравнение кинематической связи:

а₁ = а₂ = а. (6)

В уравнениях (1) и (2) сила – сила трения покоя, а – трения скольжения. Последняя по закону Кулона для трения скольжения имеет значение

. (7)

Условие совместного движения тел, очевидно, означает, что сила F имеет значение меньше искомого, так как с ростом этой силы растёт ускорение системы и должна увеличиваться сила , обеспечивающая ускорение грузу (см. уравнение (1)). При некотором значении ускорения, а значит и силы F, сила достигает максимального для трения покоя величины ₁F_p1 и дальнейшее увеличение F приведёт к соскальзыванию груза. Это-то значение силы F_min и требуется определить по условию задачи.

Подставляя в уравнения движения значения сил трения ₁F_p1 и ₂F_p2, получаем искомую пороговую величину силы F, при которой ещё возможно движение без проскальзывания:

.

Доска выскользнет из под груза, если сила F превысит найденное пороговое значение:

.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Воздушный шар массы M опускается с постоянной скоростью. Балласт какой массы Δm надо выбросить, чтобы шар начал подниматься с той же скоростью? Подъемную силу F шара считать известной и постоянной.

2. Оценить частоту вращения и ускорение электрона в атоме водорода в модели Бора, приняв радиус орбиты r = 10^-10 м. Заряд электрона e = 1,6·10^-19 Кл, масса электрона m_e = 9,1·10^-31 кг. Электрическая постоянная системы СИ ε₀ = 8,85·10^-12 Ф/м.

3. Электрон движется в магнитном поле, индукция которого В = 2·10^-3 Тл, по винтовой линии с радиусом R = 2 см и шагом h = 5 см. Определить скорость электрона.

4. Каковы нормальное и тангенциальное ускорения электрона, который движется в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях? Рассмотреть два случая: 1) скорость электрона направлена вдоль полей и 2) скорость электрона направлена перпендикулярно к ним.

5. Однозарядные ионы изотопов калия с молярными массами ₁ = 39 г/моль и ₂ = 41 г/моль ускоряются электрическим п олем с разностью потенциалов U = 300 В и попадают в однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению их движения. Индукция магнитного поля В = 8·10^-2 Тл. Найти: а) на каком расстоянии S друг от друга ионы попадут на фотопластинку (см. рисунок), б) какой из ионов раньше достигнет фотопластинки, если в магнитное поле они влетают одновременно. Взаимодействием ионов пренебречь.

6. В масс-спектрометре Бэйнбриджа расстояние между выходной щелью селектора скоростей и входной щелью прибора, регистрирующего ионы, l = 400 мм. Индукция магнитного поля B₁ = B₂ = 50 мТл. При плавном изменении напряженности электрического поля селектора наблюдаются пики ионного тока при значениях напряженности E₁ = 120 В/см и E₂ = 160 В/см. Определить атомные массы A₁ и A₂ соответствующих ионов, полагая их однозарядными. Идентифицировать эти ионы (т.е. указать, какому химическому элементу они соответствуют).

*⁾ Подробнее о законах этих взаимодействий см. П.К. Кашкаров, А.И. Ефимова «Механика и электромагнетизм» § 3.4 (стр. 24 – 26), а также в других разделах данного пособия.

29