2. Динамика материальной точки.

2. Динамика движения материальной точки.

Изучая механическое движение, динамика выясняет причины того или иного характера этого движения. Они обусловлены взаимодействием между телами. Мерой взаимодействия тела с окружающими его телами и полями является сила.

Основу динамики материальной точки составляют законы Ньютона. Первый закон, даёт критерий выбора инерциальных систем отсчета (ИСО): в таких системах тело, на которое не действуют другие тела движется равномерно и прямолинейно.

Для нахождения закона движения материальной точки используют равенство, соответствующее второму закону Ньютона:

. (2.1)

Здесь r – радиус вектор, определяющий положение точки в пространстве, F – равнодействующая всех сил, действующих на материальную точку. С точки зрения математики записанное равенство может рассматриваться как дифференциальное уравнение второго порядка, решая которое с учётом начальных условий движения, можно найти зависимость координат материальной точки от времени (закон движения). По этой причине уравнение второго закона Ньютона называют также уравнением движения. Необходимо помнить, что второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

В декартовых координатах уравнение второго закона Ньютона приобретает вид

, , . (2.2)

Силовое воздействие всегда носит характер взаимодействия. При этом, как утверждает третий закон Ньютона:

“Силы взаимодействия двух МТ равны по величине, противополож-но направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки”.

При анализе движения тел с помощью законов Ньютона приходится иметь дело с различными типами сил. Для многих из них известны законы, определяющие зависимость силы взаимодействия от расстояний, характеристик тел, состояния их движения.^*)

1. Силы Всемирного тяготения. Две материальные точки с массами m₁ и m₂ притягиваются с силами

, (2.3)

Вблизи поверхности Земли:

, (2.4)

где - ускорение свободного падения, h - высота тела над поверхностью Земли.

2. Упругие силы, возникающие при деформации тел (в частности, это различные силы реакции опор, натяжения нитей и т.д.). В некотором интервале деформаций тел (например, пружин, стержней) выполняется закон Гука:

, (2.5)

где – величина деформации тела, k – коэффициент упругости. При этом сила упругости всегда противоположна направлению деформации тела.

3. Силы трения.

Для сухого трения скольжения в первом приближении сила не зависит от величины скорости:

, , (2.8)

где V – скорость относительного движения тел, F_p – сила реакции опоры,  – коэффициент трения скольжения.

При движении тел в жидких или газообразных средах возникает сила вязкого трения. При малых скоростях она пропорциональна скорости движения тела относительно среды:

, (2.10)

где r – коэффициент вязкого трения.

4. Электромагнитные силы, возникающие при взаимодействии электрически заряженных частиц друг с другом или с электри-ческими и магнитными полями, описываются обобщённой силой Лоренца:

, (2.7)

где Е – вектор напряженности электрического, а вектор В – вектор индукции магнитного полей, V – скорость частицы.

При решении задач на эту тему следует

• выбрать инерциальную систему отсчета;

• на рисунке изобразить все силы, действующие на тела, рассматриваемые в задаче и спроецировать их на координатные оси;

• записать равенства, соответствующие второму закону Ньютона (уравнения движения) в проекциях на каждую ось координат;

• если в задаче рассматривается движение двух и более тел, необходимо добавить равенства, связывающие ускорения этих тел (уравнения кинематической связи).

• Решить полученную систему уравнений, найдя искомые величины.

Примеры решения задач

1. Н айти ускорения тел в системе, изображенной на рисунке. Блоки считать невесомыми, нить нерастяжимой, трением пренебречь.

Решение.

а

Z

Mg

) Инерциальную систему отсчёта, свяжем с Землёй. Начало одномерной системы координат совместим с центрами неподвижных блоков.

б) Так как блоки по условию задачи невесомы, то сила натяжения нити будет постоянна по величине вдоль всей нити.

в) Уравнение движения для каждого из тел:

(1)

(2)

(3)

г) Уравнение кинематической связи можно получить, выразив длину нити через координаты тел системы:

L = x₁ + R₁ + (x₂  b) + R₂ + (x₂  b) + R₃ + x₃ = const.

Продифференцировав это равенство дважды, получаем связь между проекциями ускорений тел:

. (4)

д) Объединяя записанные уравнения (1-4) в систему, находим:

,

,

.

Задача

1. Небольшой металлический шарик массы m = 4 мг помещен в высокий сосуд с водой и отпущен без толчка. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения шарика (r = 910^-6 Нс/м), найти закон изменения скорости шарика от времени V(t).

Решение.

У кажем, прежде всего, все силы, действующие на шарик: mg – сила тяжести, F_А – архимедова сила, F_с – сила сопротивления (вязкого трения) со стороны воды. Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную с Землёй. Поскольку движение является одномерным, достаточно использовать всего одну координатную ось Z, направленную вертикально вниз (см. рис.).

Тогда в проекциях на эту ось уравнение движения шарика (запись второго закона Ньютона) будет иметь вид:

(1)

Сила вязкого трения при движении тела в жидкости зависит от скорости движения. При небольших скоростях, как и предложено считать в условии данной задачи, эта зависимость прямо пропорциональная: F_c = rV (коэффициент пропорциональ-ности r зависит от размеров и формы тела, а также вязких свойств среды). Архимедова сила равна F_А = g, где  – объём погружённой части тела, а  – плотность жидкости, т.е. является не зависящей от скорости константой.

Подставляя соответствующие выражения в уравнение движения шарика, получаем:

(2)

Как видно, мы получили дифференциальное уравнение относительно искомой функции V(t). Чтобы решить приведём его к виду, удобному для интегрирования, используя стандартный приём замены переменной (см., например, задачу 1.15):

(3)

, (4)

Теперь переменные разделяются –

и можно проинтегрировать обе части равенства:

Откуда после потенциирования находим:

Вернёмся теперь к исходной функции:

Подстановка начального условия задачи V(0) = 0 позволяет определить константу интегрирования , и записать окончательно искомый закон изменения скорости шарика:

Видно, что скорость шарика сначала увеличивается довольно быстро, но затем её рост замедляется, и она экспоненци-ально стремится к скорости “установившегося движения”:

.

Данная зависимость представлена на рисунке.

Задача

1. Через какой промежуток времени  в условиях предыдущей задачи скорость шарика достигнет а) половины от установив-шейся величины? б) 99% от установившейся величины?

Решение

Для ответа на поставленные вопросы достаточно решить алгебраические уравнения:

a) , откуда

0,3 с.

б) , откуда

2 с.

Данные моменты времени отмечены на рисунке к задаче 2.2.

Задача

1. Однородное электрическое (Е = 300 В/м) и магнитное (В = 10^-4 Тл) поля направлены взаимно перпендикулярно. Каковы должны быть направление и величина скорости электрона, чтобы его траектория была прямолинейной?

Решение.

Движение электрона будет прямолинейным в случае, если у него отсутствует ускорение или оно совпадает по направлению с вектором начальной скорости электрона. Последний случай не может быть реализован, т.к. со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу действует сила Лоренца:

,

г де V – скорость движения частицы, q – её заряд. Как видим, эта сила направлена перпендикулярно вектору скорости. Ускорение электрона может быть равно нулю, если сила Лоренца окажется скомпенсирована силой, действующей на электрон со стороны электрического поля: F_e = qE. Итак, . Скорость электрона, таким образом, должна быть равна по модулю

,

а её направление должно обеспечить противоположное направление векторов E и [V,B]. Чтобы определить это направление нужно вспомнить правило «левой руки» и учесть отрицательность заряда электрона (см. рис).

Задача

1. На столе лежит доска массы M = 1 кг, а на доске – груз массы m = 2 кг. Какую силу F нужно приложить к доске, чтобы доска выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между грузом и доской ₁ = 0,25 , а между доской и столом ₂ = 0,5.

Решение.

Выберем инерциальную систему отсчёта связанную с Землёй. Направим одну из координатных осей этой системы отсчёта горизонтально вдоль поверхности стола (OX) и другую – перпендикулярно к ней (OY). Укажем на рисунке все силы, действующие на груз и доску в условиях данной задачи. Далее запишем уравнения движения груза и доски в проекциях на выбранные оси координат:

= ma₁, (1)