Лекции по дискретной математике, страница 2

g_{3 *} h₁ =g₃ g_{3 *} h₂ g_3* h₃ g_{3 *} h_n

_{. .}

_{. .}

_{. .}

g_{m *} h₁ =g_m g_{m *} h₂ g_m* h₃ g_{m *} h_n

Первый элемент слева в каждой строке называется лидером смеж­ного класса. Каждая строка таблицы называется левым смежным классом, а в случае абелевой группы — просто смежным классом. Если при построении разложения группы на смежные классы использовать правое умножение на элементы группы G вместо левого, то строки называются правыми смежными классами. В силу указанных выше правил построения разложение на смеж­ные классы всегда представляется прямоугольной таблицей, все строки которой полностью заполнены. Докажем теперь, что всегда получается таблица, в которой каждый элемент группы встречается точно один раз.

Теорема 1.1.3. В разложении группы G на смежные классы каждый элемент из G встречается один и только один раз.

Доказательство. Каждый элемент появится хотя бы один раз, так как в противном случае процесс не остановится. Докажем теперь, что каждый элемент не может появиться дважды в одной и той же строке и что один и тот же элемент не может появиться в двух разных строках.

Предположим, что два элемента одной и той же строки, g_{i *} h_k и g_{i *} h_j равны. Тогда умножение. каждого из них на g_i^(-1)дает равенство h_k= hj . Это противоречит тому, что каждый элемент подгруппы выписан в первой строке только один раз.

Предположим, что два элемента различных строк g_i*hj, и g_k*h равны и что k<j.Умножение справа на h_j^-1приводит к равенству g_i=g_k*h_j*h_j^-1 Тогда g_i порождает k-й смежный класс, так как элемент h_j*h_j^-1принадлежит k подгруппе.

Это противоречит указанному выше правилу выбора лидеров смеж­ных классов. Следствие 1.1.4. Если Н — подгруппа группы G, то число элементов в Н делит число элементов в G. Таким образом, (Порядок H)- (Число смежных классов G по H)= (Порядок G).

Доказательство следует непосредственно из прямоугольности таблицы разложения на смежные классы.

Теорема 1.1.5. Порядок конечной группы делится на порядок любого из ее элементов.

Доказательство. Группа содержит циклическую подгруппу, порожденную любым из ее элементов; таким образом, утвержде­ние теоремы вытекает из следствия 1.1.4.

1.2. КОЛЬЦА

Следующей необходимой нам алгебраической структурой является кольцо. Кольцо представляет собой абстрактное множество, которое является абелевой группой и наделено дополнительной структурой.

Определение 1.2.1. Кольцом R называется множество с двумя определенными на нем операциями: первая называется сложением (обозначается +), вторая называется умножением (обозначается соседним расположением), причем имеют место следующие ак­сиомы:

1) относительно сложения (+) R является абелевой групцой;

2) замкнутость: произведение аЬ принадлежит R для любых а и Ь из R;

3) закон, ассоциативности: '

а (Ьс) = (аЬ) с;
4) закон дистрибутивности:

а (Ь + с) = аЬ + ас, (Ь + с) а = Ьа + ca.

Сложение в кольце всегда коммутативно, а умножение не обязательно должно быть коммутативным. Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором умножение коммутативно, т. е. аb = bа для всех а и Ь из R

Закон дистрибутивности в определении кольца связывает операции сложения и умножения. Этот закон имеет несколько непосредственных следствий, как, например, приведенная ниже теорема.

Теорема 1.2.2. Для произвольных элементов а и b в кольце R

(1) a0= 0a

(2) а (—Ь) = (—а) Ь = — (аЬ). . .. .

Доказательство.

(1). аО = а (0 + 0) = аО + аО.

Вычитая из обеих частей равенства аО, получаем 0 = аО. Вторая часть утверждения (1) доказывается аналогично,

(2). О = аО = а (b — b) = аb + а (—b). Следовательно, а (-b) = - (аb).Вторая часть утверждения (2) доказывается аналогично.

Операция сложения в кольце имеет единичный элемент, назы­ваемый нулем. Операция умножения не обязательно имеет еди­ничный элемент, но если он есть, то является единственным. Кольцо, обладающее единственным элементом относительно умно­жения, называется кольцом с единицей. Этот единичный элемент называется единицей и обозначается символом 1. Тогда для всех а из R имеет место равенство

1а = а1= а.

Относительно операции сложения каждый элемент кольца имеет обратный. Относительно операции умножения элемент, обратный данному элементу, не обязательно существует, но в кольце с единицей обратные элементы могут существовать. Это означает, что для данного элемента а может существовать элемент b, такой, что аb = 1. Если это так, то b называется пра­вым обратным к а. Аналогично если существует элемент с, такой, что cа = 1, то с называется левым обратным к а.

Теорема 1.2.3. В кольце с единицей:

(1)- единица единственна;

(2) если элемент а имеет как правый обратный b, так и левый обратный с, то элемент а называется обратимым, причем обратный ему элемент является единственным (и обозначается через а^-1);

(3) (a^--1)^-1 =a

Доказательство.Рассуждения аналогичны приведенным при доказательстве теоремы 1.1.2. Обратимый элемент кольца называется единицей. Множество всех единиц в кольце замкнуто относительно умножения, так как если а и b — единицы, то с = ab имеет обратный элемент, равный с^-1 =b^-1a^-1

Теорема 1.2.4.

(1) Множество единиц кольца образует группу относительно умножения в кольце

(2) Если с = аb и с — единица, то а имеет правый обратный,

а b — левый обратный элемент..

Доказательство. Непосредственная проверка.

Имеется много известных примеров колец, и ниже приводятся некоторые из них. Представляется поучительным проиллюстри­ровать этими примерами теоремы 1.2.3 и 1.2.4.

1. Множество всех вещественных чисел образует коммута­тивное кольцо с единицей относительно обычных сложения и ум­ножения. Каждый ненулевой элемент кольца является единицей.

2. Множество всех целых чисел (положительных, отрицатель­ных и нуля) образует коммутативное кольцо с единицей относи­тельно обычных сложения и умножения. Это кольцо принято обозначать через 2; его единицами являются только ±1.

3. Множество всех квадратных (N X N)-матриц, элементами которых являются вещественные числа, образует некоммутатив­ное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения. Единицей является единичная (N X N)-матрица. Еди­ницами в кольце служат все невырожденные матрицы.

4. Множество всех квадратных (N X N)-матриц, элементами которых являются целые числа, образует некоммутативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения.

5. Множество всех многочленов от x с вещественными коэф­фициентами образует коммутативное кольцо с единицей отно­сительно сложения и умножения многочленов. Единицей кольца является многочлен нулевой степени p (x) = 1.

1.3. ПОЛЯ

Нестрого говоря, абелевой группой является множество, в кото­ром можно складывать и вычитать, а кольцом — множество, в котором можно складывать, вычитать и умножать. Более сильной алгебраической структурой, называемой полем, является множество, в котором можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Определение 1.3.1. Полем, называется множество с двумя определенными на нем операциями — сложением и умножением, -причем имеют место следующие аксиомы:

1) множество образует абелевую группу по сложению;

2) поле замкнуто относительно умножения, и множество нену­левых элементов образует абелевую группу по умножению;

3) закон дистрибутивности:

(а + b) с = ас + bс для любых а, b, с из поля.

Единичный элемент относительно сложения принято обозна­чать через О/и называть нулем, аддитивный обратный элементу а элемент — через -а; единичный элемент относительно умноже­ния обозначать через 1 и называть единицей, мультипликативный обратный к элементу а элемент — через a^-1. Под вычитанием (а -b) понимается а + (-b); под делением (а/b) понимается b^-1а.

Широко известны следующие примеры полей:

1) R: множество вещественных чисел,

2) С: множество комплексных чисел,

3) Q: множество рациональных чисел.

Все эти поля содержат бесконечное множество элементов. Мы интересуемся полями, содержащими конечное число элемен­тов. Поле с q элементами, если оно существует, называется конеч­ным полем или полем Галуа и обозначается через GF (q).

Что представляет собой наименьшее поле? Оно обязательно содержит нулевой элемент и единичный элемент. На самом деле этого уже достаточно при следующих таблицах сложения и умно­жения:

Это поле GF (2). Проверка показывает, что не существует другого поля с двумя элементами. Ниже конечные поля будут изучены более детально. Сейчас мы приведем два простых примера и опишем их таблицами сло­жения и умножения (вычитание и деление неявно определяются этими же таблицами).

Поле GF(3) = {0, 1, 2} с операциями

Поле GF(4)={0,1,2,3} c операциями

Отметим, что умножение в поле GF (4) не является умножением по модулю 4 и сложение не является сложением по модулю 4.

Существуют многие другие поля Галуа. Даже для этрх приме­ров очень маленьких полей не так легко с помощью простой про­верки установить, что они обладают указанной структурой. Структура этих и больших полей будет разъясняться ниже.

Прежде чем расстаться с этими примерами, заметим, что
поле GF(2) содержится в GF(4), так как в поле GF(4) два эле­
мента 0 и 1 складываются и умножаются точно так же, как они
складываются и умножаются в поле GF(2). Однако GF(2) не со­
держится в GF (3).

Определение 1.3.2. Пусть F- некоторое поле. Подмножество в F называется подполем, если оно само является полем относи­тельно наследуемых из F операций сложения и умножения. В этом случае исходное поле F называется расширением поля.

Для того чтобы доказать, что подмножество конечного поля является подполем, необходимо доказать только, что оно содер­жит ненулевой элемент и что оно замкнуто относительно сложе­ния и умножения. Все остальные необходимые свойства насле­дуются из F. Обратные элементу β по сложению или умножению элементы содержатся в порожденной β циклической группе относительно операции сложения или умножения.

Поле обладает всеми свойствами кольца, а также важным Дополнительным свойством — в нем всегда возможно сокращение.