Еще билеты, страница 2

Лемма 5. Нижний интеграл Дарбу всегда не превосходит верхний интеграл Дарбу.

Док-во от противного:

Пусть I_* > I^*. Тогда их разность эпсилон – больше 0. Для выбранного разбиения, найдется верхняя сумма S’, меньшая I^*+ε/2 (по определению нижней грани). Так же получаем нижнюю сумму s’’ (уже от другого разбиения) – находим их разность S’ – s’’ < I^*-I_* + ε Но мы приняли что I^*-I_* = -ε ! Тогда нарушается 4 лемма и 5 лемма доказана.

Лемма 6. M и m – верхняя и нижняя грани функции на сегменте [a,b]. d – диаметр разбиения {x_k}. Добавлением l произвольных точек получили разбиение {x_k’}. Их верхние и нижние суммы соответственно S, s, S’, s’. Справедливо неравенство S – S’ <= (M-m)ld, s’-s <= (M-m)ld.

Док-во. Рассмотрим добавление одной точки. Тогда в суммах изменится ток одно слагаемое - M_k∆x_k распадется на два (M_k’ и M_k’’), S – S’ = M_k∆x_k – (M_k’(c – x_k-1) + M_k’’(x_k – c)). Ну а так как m<=M_k’’ и M’ тоже, то, заменяя М со штрихами на m получим S-S’ <= (M – m)∆x_k <= (M-m)d.

Для нижних аналогично.

Определение 3. Число А – предел верхних сумм S при d стремящимся к 0, если для любого эпсилон больше 0 есть дельта что при любом d меньше дельта, |S-A| < ε. Ну все как обычно.

Аналогично для нижних сумм.

Основная лемма Дарбу. Верхний интеграл Дарбу – предел верхних сумм при стремлении диаметра разбиения к 0. Аналогично для нижнего интеграла Дарбу.

Док-во. Если f(x) = const то S = I^* в любом разбиении..

Если непостоянна, то делаем вот что:

1) фиксируем малое ε

2) По определению I^*, существует разбиение, в котором S^*-I^* < ε/2.

3) Обозначим количество точек (не совпадающих с a и b) этого разбиения за l

4) берем произвольное разбиение, диаметр которого d < δ = ε/(2l(M-m)), S – его верхняя сумма

5) Измельчаем его, добавляя l точек из п. 3), полученная верхняя сумма S’ удовлетворяет неравенству 0 <= S – S’ <= (M-m)ld < ε/2

6) Можно рассматривать последнее разбиение как измельчение самого первого разбиения с добавленными точками второго разбиения, поэтому в силу определения и леммы 3 получаем:

I^*<=S’<=S^* то есть 0 <= S’ – I^* < S^* - I^*

Ну а так как S^* - I^* < ε/2, 0 <= S’ – I^* < ε/2 Обобщая всё, получим 0 <= S – I^* < ε если d меньше дельта. Получаем что хотели.

5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Вспомогательная теорема. Ограниченная на сегменте [a,b] функция интегрируема титтк I^*=I_*

Док-во.

Н. Ф-я интегрируема -> существует предел I интегральных сумм при стремлении d к нулю -> для любого ε>0, существует δ>0 такое что при любых промежуточных точках ξ_k и d < δ, |I-σ(x_k,ξ_k)|<ε/4

По лемме 2 можно в этом же разбиении выделить точки ξ _k’ и ξ_k’’ такие что разность между инт суммами от них, S и s меньше ε/4 – первое неравенство с ними также справедливо. А теперь фокус S – s = [S – σ’] + [σ’ – I] + [I – σ’’] + [σ’’ – s] < ε ! И так как s <= I_* <= I^* <= S и ε – любая, I^*=I_*

Д. I^*=I_* -> по основной лемме Дарбу, верхний интеграл – предел верхних сумм, нижний – предел нижних. Потому для любого ε>0, существует δ>0 такое что для любых разбиений с d < δ, разность между ними меньше эпсилон. Отсюда, A – ε < s <= σ <= S < A + ε где A = I^* = I_*
Получаем |A – σ|<ε значит предел инт сумм существует и равен A – функция интегрируема.

Основная теорема.

Ограниченная на [a,b] функция интегрируема титтк для любого ε можно найти разбиение, в котором S – s < ε.

Н. Функция интегрируема – из док-ва вспом. теоремы – S – s < ε

Д. S – s < ε, s <= I_* <= I^* <= S , значит из вспомог. теоремы (интегралы совпадают), ф-я инт-ма.

6. Классы интегрируемых функций.

теорема. Непрерывные на сегменте [a,b] функции интегрируемы на нем.

Док-во. функция непрерывна на сегменте – она равномерно непрерывна на нем., значит для любого ε существует δ такая что если ξ’ и ξ’’ – любые точки сегмента для которых модуль разности меньше дельты, то |f(ξ’) – f(ξ’’)|< ε/(b-a) – получается что разность между точной верхней и нижней гранью на любом сегменте длины меньше дельта, будет меньше ε/(b-a). Теперь выберем разбиение этого сегмента с диаметром d меньше дельта. M_k – точная верхняя грань f(x) на сегменте [x_k-1,x_k], m –аналогично точная нижняя. По определению верхней и нижней суммы, S – s = сумма (M_k-m_k)∆x_k – используем то что разность меньше ε/(b-a) , суммируем и получаем что S – s меньше эпсилон – по основной теореме, функция интегрируема.

теорема. Пусть f(x) определена и ограничена на сегменте [a,b]. Если для любого эпсилон можно покрыть точки разрыва интервалами, общая сумма длин которых меньше эпсилон, функция интегрируема на этом сегменте.

Док-во. Покроем точки разрыва интервалами длины ε/[2(M-m)]. Остальные сегменты назовем дополнительными. На каждом из них, функция непрерывна, а значит и равномерно непрерывна. Значит выполняется условие равномерной непрерывности. Возьмем за дельту минимальную из всех дельт для всех доп. Сегментов. Тогда она будет подходить каждому из них и разность M_k – m_k < ε/2(b-a). Получаем для всего сегмента S – s = сумма’ (M_k – m_k)∆x_k + сумма’’(M_k – m_k)∆x_k где сумма’ содержит все промежутки покрывающие разрывы, а сумма’’ содержит все дополнительные сегменты. Рассмотрим первое слагаемое. Так как M_k – m_k < M-m, то можно его заменить и получится сумма’ (M_k – m_k)∆x_k <= (M-m)сумма’∆x_k < ε/2.

Аналогично, сумма’’(M_k – m_k)∆x_k < сумма’’∆x_k ε/2(b-a) < (b-a)*ε/2(b-a) = ε/2.

Таким образом, S – s < ε и по основной теореме, функция интегрируема.

Следствие. Ограниченная на сегменте функция с конечным числом точек разрыва интегрируема на нем.

Замечание. Если интегрируемая функция f(x) отличается от g(x) на сегменте [a,b] лишь конечным числом точек, то g(x) тоже интегрируема и интеграл на этом сегменте равен интегралу f(x).

Теорема. Монотонная на сегменте функция интегрируема на нем

Константу убираем, это примитивно. Например, функция не убывает. Берем разбиение сегмента [a,b] с диаметром d < ε/(f(b)-f(a)) – получаем S –s < ε*сумма(M_k-m_k)/(f(b)-f(a)) – последнее в силу монотонности становится единицей и получаем эпсилон.

Теорема. Пусть f(x) интегрируема на сегменте [a,b], M и m – точные грани, g(x) определена на [m,M] и удовлетворяет условию Липшица: существует С такое что для любых x и y из [m,M] выполняется |g(x)-g(y)| <= C|x-y|. – Тогда сложная функция h(x) = g(f(x)) интегрируема на сегменте [a,b].

Док-во. Так как f(x) интегрируема, есть разбиение, в котором S-s < ε/C пусть M_k и m_k – точные грани на частичном отрезке разбиения, а M_k^* и m_k^* соответствующие величины для h(x). Тогда в силу условия на функцию g(x) справедливо неравенство h(x) – h(y) <= |h(x) – h(y)| = |g(f(x)) – g(f(y))| <= C|f(x) – f(y)| <= C(M_k – m_k). – это справедливо для любых точек, поэтому справедливо и M_k^* - m_k^* <= C(M_k – m_k) Получаем что S^* - s^* = сумма (M_k^* - m_k^* )∆x_k <= C(S – s) < ε – по основной теореме, функция интегрируема.

Теорема. Пусть f(x) интегрируема на сегменте [a,b], M и m – точные грани, g(x) непрерывна на [m,M] – Тогда сложная функция h(x) = g(f(x)) интегрируема на сегменте [a,b].

Док-во.

Пусть C = max |g(t)| на сегменте [m,M] и ε – произвольное положительное число. Возьмем ε’ = ε/(b-a+2C). В силу непрерывности g, существует δ > 0 такое что |g(t1)-g(t2)| < ε’ если |t1 – t2| < δ
и t1 и t2 принадлежат [m,M]. Выберем δ таким что он еще меньше ε’. В силу интегрируемости f(x), существует такое разбиение, что S – s < δ²

M_k, m_k – точные грани f(x) на [a,b] M^*_k, m_k^*- точные грани h(x) на [a,b]. Разобьем натуральные числа 1..n да два множества – в первом все k для которых M_k – m_k < δ, во втором – все для которых больше либо равно. Для индексов первой группы, в силу равномерной непрерывности g(t) получаем M_k^* - m_k^* <= ε’ и в силу равномерной непрерывности на всем сегменте, |g(f(x)) – g(f(y))| = |g(t1) – g(t2)| < ε’ - так как это для любых x и y то точные верхние и нижние грани тоже подходят.

А если k из второй группы, то очевидно что M_k^* - m_k^* <= 2С. Теперь смотрим разность S^* – s^* = ε’(b-a) + 2C*сумму(по вторым к)∆x_k
Оцениваем последнюю сумму. Она меньше суммы(по второй группе) δ(Mk – mk)∆xk <= суммы общей = S –s <δ²

Получаем что в общем она меньше дельта, которая в свою очередь меньше ε’ – выносим его и получаем S* - s* <= ε’(b-a) + 2Cε’ < ε’(b-a+2C) = ε – функция интегрируема…

Если вы абсолютно не поняли, как доказывать теорему – не беспокойтесь. Я тоже не понял  Будем называть эту теорему «ужасной». Кстати,Тихомиров в своей лекции пишет об этом так:

«Замечание к теореме 6». Теорема 6 остается справедливой, если условие Липшица для g(t) заменить на условие непрерывности g(t) на [m,M] – то есть он это даже не пытался объяснить!!!

Ладно, переходим к теме

7. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Теоремы о среднем значении.

Свойства интеграла:

а) интеграл от суммы интегрируемых функций равен сумме интегралов от этих функций – доказываем через суммы.

б) интеграл от произведения суммы на константу равен произведению константы на интеграл от функции – аналогично просто выносим константу из суммы

в) произведение интегрируемых функций – тоже интегрируемая функция –4 f(x)g(x) = (f(x)+g(x))² – (f(x)-g(x))² – по предыдущим свойствам и ужасной теореме, правая часть интегрируема, значит и левая тоже.

г) Раз функция интегрируема на [a,b] то она интегрируема и на любом [c,d], входящим в [a,b].
док-во. Берем разбиение [a,b], добавляем в него точки c и d – получаем общее разбиение, для него S – s меньше эпсилон, как и для изначального разбиения. Теперь из S и s выбираем слагаемые, относящиеся только к отрезку [c,d] – из них тоже смотрим S’ – s’ и оно тоже меньше эпсилон, так как первая разность содержит вторую как слагаемое, остальные слагаемые неотрицательны, значит вторая разность меньше первой!

интеграл по [a,b] равен минус интегралу по [b,a].

д) Если f(x) инт-ма на [a,c] и [c,b], то она интегрируема и на [a,b], причем сумма интегралов по первым отрезкам равна интегралу по второму отрезку.

1) если точка с находится вне сегмента [a,b] - какой то из них находится внутри другого – по предыдущему свойству все норм

2) если точка с внутри сегмента [a,b] то берем разбиения двух отрезков [a,c] и [c,b], в них S – s < ε/2 объединяем – в объединении S – s < ε – на этом отрезке интегрируема. Насчет результата смотрим суммы интегралов по двум разбиением, объединяем в общую и получаем общий интеграл.

Оценки интегралов.

а) если функция интегрируема на сегменте и неотрицательна на нем – её интеграл на этом сегменте неотрицателен.

док-во – каждая инт.сумма будет неотрицательна, предел тоже.

б) Если f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте и f(x) <= g(x) на нем то и интеграл от f(x) будет меньше интеграла от g(x). док-во – рассматриваем интеграл разности и смотрим пред. свойство.