Еще билеты

1. Отыскание точек локального экстремума функции. Достаточные условия экстремума.

Локальный максимум, минимум.
Пусть функция f(x) определена всюду в некоторой окрестности точки с. Тогда эта функция имеет в точке с локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки с, что для всех точек этой окрестности значение f(c) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений f(x)

Лок. максимум и минимум – лок. экстремумы.

Необходимое условие экстремума – если функция дифф-ма и имеет экстремум в т. с, то f’(c) = 0.

Точки с такие, что f’(c) = 0 зовутся стационарными.

Первое достаточное условие экстремума.
Теорема. Пусть f(x) дифф-ма всюду в некоторой окрестности точки с, и пусть точка с – стационарная. Тогда если в пределах указанной окрестности, f’(x) положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (соотв. полож) справа от точки с, то функция имеет в данной точке лок. максимум (соотв. минимум). Если же f’(x) имеет одинаковые знаки справа и слева от точки с в пределах заданной окрестности, то экстремума в точке с нет.

Доказательство.
1) знаки разные. Раз функция дифференцируема, то все условия теоремы Лагранжа выполнены. И можно представить f(c) – f(x0) = f’(e)(c-x0) – отсюда видно, что f(c) – f(x0) всегда полож (отриц).
2) знаки одинаковые – получаем по той же схеме f(c) – f(x0) знак меняет – экстр нет.

Второе достаточное условие экстремума.

Теорема. Пусть функция f(x) имеет в данной стационарной точке с конечную вторую производную. Тогда функция f(x) имеет в точке с локальный максимум, если вторая производная f(x) меньше ноля, или локальный минимум, если больше ноля.

Доказательство.
То, что вторая производная больше ноля, означает, что f’(x) возрастает в точке c – а так как f’(c) = 0, то в некоторой окрестности слева f’(x) < 0, справа – больше – минимум. Для максимума аналогично.

5. Третье достаточное условие экстремума.

Пусть n >= 1 – некоторое нечетное число, и пусть функция y = f(x) имеет производную порядка n в некоторой окрестности точки с и производную порядка n+1 в самой точке. Тогда, если все производные в точке с степени до n+1 равны 0, а n+1 производная не равна 0, то функция имеет в точке локальный экстремум, а точнее, локальный максимум, если меньше 0 и минимум, если больше.

Доказательство.

Раскладываем f’(x) по формуле Маклорена до члена n-1 порядка. Остаточный член в форме Лагранжа. Получим, что знак f’(x) определяется знаком n-й производной в достаточно малой окрестности точки с. Ну а так как её знак слева и справа известен из положительности или отрицательности n+1 производной, приходим (по первой теореме) к минимуму или максимуму. Ну а благодаря нечетности, мы убрали влияние множителя (x – c)^n-1 на знак результата.

Общая схема отыскания экстремума.

Предполагаем непрерывность функции на интервале – предполагаем существование и непрерывность её производной на интервале, кроме конечного числа точек – предполагаем конечное число обращений её в нуль на интервале – знак на участках интервала между этими точками определен – рассматриваем сами точки на экстремум

2.Направление выпуклости графика функции и точки перегиба. Достаточные условия перегиба.

Предположим, что функция дифференцируема в любой точке интервала. Тогда существует касательная, проходящая через любую точку (x, f(x)) этого графика, причем эта касательная не параллельна оси У.

График имеет выпуклость вниз (вверх) на интервале, если он на этом интервале лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Теорема. Если функция имеет на отрезке вторую производную и эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график имеет на нем выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во.

рассмотрим случай >=0 – получаем уравнение касательной Y – f(c) = f’(c)(x-c), а саму функцию в окрестности точки с разложим по формуле Маклорена с ост членом Лагранжа: y = f(x) + f’(x)(x-c) + f’’(e)(x-c)²/2 Итого, разность координат графика и касательной равна y – Y = f’’(e)(x-c)²/2 ну и так как вторая производная неотрицательна, то график лежит не ниже касательной.

Теорема. Пусть вторая производная f(x) непрерывна и положительна (отрицательна) в точке с. Тогда существует окрестность точки с, в пределах которой график функции имеет выпуклость вниз (вверх).
Док-во.
По теореме об устойчивости знака непрерывной функции, найдется окрестность, в которой вторая производная всюду положительна (отрицательна) – по первой теореме там график имеет выпуклость вниз (вверх).

Точка М называется точкой перегиба, если существует окрестность т. М, где справа и слева от точки график имеет различные направления выпуклости.

Лемма 1. Пусть функция y = f(x) имеет производную всюду в б-окрестности точки с. Тогда, если график функции имеет на интервале (с, с+б) выпуклость, направленную вниз (вверх), то всюду в пределах данного интервала, этот график лежит не ниже (не выше) касательной в точке (с, f(c)).

док-во.
рассматриваем сходящуюся последовательность к точке с, через каждую точку проводим касательную:
Y_n = f(x_n) + f’(x_n)(x-x_n)
Так как по условии, на интервале график выпукл вниз, то для любого n и для любой фиксированной точки интервала, f(x) – Y_n >= 0 (<=0)
Из условия непрерывности f’(x) в точке с, получим, что существует предел этой разности и он также >=0 (<=0).

Лемма 2. Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки с, производная непрерывна в самой точке с. Тогда, если в точке с есть перегиб, то график справа и слева от неё лежит по разные стороны от касательной.
док-во. выбираем малые окрестности и применяем лемму 1 на них – получаем условие.

Теорема. Если функция имеет в точке с вторую производную и график функции имеет перегиб в данной точке, то f’’(x) = 0.

Док-во. Так как там перегиб, то по лемме 2, f(x) – Y (Y – кас-я в точке с) имеет разные знаки слева и справа от точки с – значит экстремума F(x) нет. (F = f(x) – Y)
Теперь предположим, что f’’(x) не равно 0. Тогда так как F’(x) = f’(x) – f’(c) , то F’’(x) = f’’(x) и получается что F’(c) = 0, но F’’(c) не равно 0 и значит F(x) имеет локальный экстремум в точке с. Противоречие!

Первое достаточное условие перегиба.
Теорема. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и вторая производная в точке с равна 0. Тогда если в окрестности точки с, вторая производная имеет разные знаки слева и справа от неё, то график этой функции имеет перегиб в точке М(с, f(c)).

Док-во. График имеет касательную, а также слева и справа вторая производная имеет разные знаки – а значит и разное направление выпуклости. По определению, это точка перегиба.

Второе достаточное условие перегиба.
Если функция имеет в точке с третью производную и f’’(с) = 0, но f’’’(с) не равно 0, то график имеет перегиб в точке M(c,f(c)).
Док-во. так как f’’’(c) не равно 0, то функция либо убывает, либо возрастает – из того что f’’(c) =0, получаем что слева и справа в некоторой окрестности разные знаки. По предыдущей теореме, есть перегиб.

Третье достаточное условие перегиба.

Теорема. Пусть n >= 2 – некоторое четное число и функция имеет производную порядка n в окрестности точки c и n+1 в самой точке. Тогда если f’’(c) =… f⁽ⁿ⁾(c) = 0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) <> 0, то график имеет перегиб в точке М (c,f(c)).

Док-во. f⁽ⁿ⁾(x) слева и справа имеет разные знаки. Раскладываем по формуле Тейлора f’’(x) и получим что она равна f⁽ⁿ⁾(e)(x-c)^n-2/(n-2)! а так как f⁽ⁿ⁾ справа и слева имеет разные знаки, то и f’’(x) тоже. По первой теореме получаем перегиб.

3.Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.

Говорят, что х = а является вертикальной асимптотой графика функции, если lim f(x) при x -> a + 0 или x -> a - 0 равен плюс или минус бесконечности.

Говорят, что прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции при x -> +∞, если f(x) представима в виде f(x) = kx +b + a(x), где lim а(х) = 0 при x -> +∞

Теорема. Для того, чтобы график функции y = f(x) имел при x -> +∞ наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Док-во. Необходимость
Асимптота есть – получаем, что

Достаточность.
Пусть существуют пределы. Второй предел означает, что разность f(x) – kx – b является бесконечно малой при x -> +∞ . Обозначим её через a(x) и получим условие.

Схема исследования графика функции.
1. Уточнить область задания функции.
2. Выяснить вопрос о существовании асимптот
3. Найти области возрастания/убывания функции и точки экстремума
4. Найти области сохранения направления выпуклости и точки перегиба
5. Найти точки пересечения графика функции с осью Ох

4. Понятие интегрируемости функции. Леммы Дарбу о верхней и нижней суммах

Опр. 1. Задано разбиение сегмента [a,b], если заданы точки a = x₀<x₁<x₂<…<x_n=b
Обозначается {x_k}

Опр. 2. Разбиение {x_k’} называется измельчением разбиения {k_k} (того же сегмента), если каждая точка x_p разбиения {x_k} совпадает с одной из точек x_q разбиения {x_k’}.

Опр. 3. Разбиение {k_k} называется объединением разбиений {k_k’} и {k_k’’} (того же сегмента), если все точки {k_k’} и {k_k’’} являются точками разбиения {k_k} и других точек {k_k} не содержит.

Интегральная сумма σ(x_k,ξ_k) = , где ξ_k – некоторая точка сегмента [x_k-1,x_k].

Можно записать проще, σ(x_k,ξ_k) =

Сегменты [x_k-1,x_k] – частичные сегменты, ξ – промежуточные точки.

d = max∆x_k – диаметр разбиения.

Опр. 4. I – предел интегральных сумм σ(x_k,ξ_k) при стремлении d к 0, если для любого ε > 0 существует такое δ>0, что из условия d < δ следует |I – σ| < ε.

Опред. 5. Функция f(x) интегрируема по Риману на сегменте [a,b], если для неё на указанном сегменте существует предел I её интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю.

Число I называется определенным интегралом Римана от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается символом

a – нижний предел интегрирования, b – верхний.

Верхние и нижние суммы

M и m – верхняя и нижняя грани функции f(x) на сегменте [x_k-1,x_k]

Опр.1 Суммы

S = M₁∆x₁ + M₂∆x₂ + … + M_n∆x_n =

s = m₁∆x₁ + m₂∆x₂ + … + m_n∆x_n =

Называются верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения {x_k} сегмента [a,b].

Лемма 1. Пусть σ – интегральная сумма, отвечающая данному разбиению {x_k}. Тогда при любом выборе промежуточных точек, всегда s <= σ <= S (s и S – верхняя и нижняя суммы)

Док-во. По определению m_k и M_k, m_k <= f(ξ_k) <= M_k для любого кси из данного сегмента. Умножаем на ∆x_k и суммируем – получаем что надо.

Лемма 2. В произвольном разбиении, можно выбрать промежуточные точки так, что 0 <= S – σ(x_kξ_k) < ε и так, что что 0 <= σ(x_kξ_k) – s < ε

Док-во. Так как M_k = supf(x) на промежутке [x_k-1,x_k], то для выбранного ε найдется ξ_k (этого же сегмента) такая что 0 <= M_k – f(ξ_k) < ε/(b-a) – умножаем обе части на ∆x_k, суммируем и получаем то что надо. Для s аналогично.

Следствие: S = supσ(x_k,ξ_k); s = infσ(x_k,ξ_k).

Лемма 3. При измельчении разбиения, верхняя сумма не увеличивается, нижняя не уменьшается.

Док-во. Добавим только одну точку – все отрезки разбиения, кроме одного, останутся неизменными – на этом отрезке образуется два новых, на каждом из них макс M_k, как и m_k будет не больше (не меньше) того что было. Умножаем на дельта, суммируем, опять получаем то что надо.

Лемма 4. Для двух разбиений (разных) s <= S всегда.

Вводим объединение двух разбиений, это будет измельчением каждого. Для него справедливо s<=S – транзитивностью приходим к нужному неравенству.

Опр2. Верхним (нижним) интегралом Дарбу называется число I^* (I_*), равное точной нижней (верхней) грани множества верхних (нижних) сумм {S} ({s}) данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [a,b].