1.6. Проблема решения задач.

"В предметах нашего исследования

надлежит отыскивать не то,

что о них думают другие

или что мы предполагаем о них сами,

но то, что мы ясно и очевидно

можем усмотреть и надежно дедуцировать,

ибо знание не может быть достигнуто иначе".

Р. Декарт

1.6.1.Общие замечания.

При решении задач необходимыми средствами являются исходная информация о проблеме и знания методов решения соответствующих проблем.

Разумеется, большую роль при этом играют и личные качества: волевые, интеллектуальные, психологические и т.п..

Исходная информация может быть достаточно полной для того, чтобы обеспечить однозначное решение проблемы. В этом случае решаемая проблема будет относиться к классу так называемых "детерминированных" задач. Исходная информация может быть недостаточно полной и тогда возникает набор возможных решений, из которого решающему надо выбрать одно решение. Такие задачи называют "задачи с риском". Детерминированные задачи и задачи с риском относятся к категории "закрытых задач", они решаются на основе изначально заданной информации.

Есть задачи, в которых задана только цель, а необходимую информацию надо подобрать. При решении задачи в этом случае необходим поиск и генерация исходной информации. Такие задачи называются открытыми.

Детерминированные задачи - для этих задач имеется вся необходимая информация и задача решается в системе, в которой имеется полная система аксиом и полный набор правил выводов следствий. Такие задачи и имеют место в замкнутых системах физики, в частности, в механике Ньютона.

1.6.2. Задачи, решаемые в рамках аксиоматики Ньютона

Обычно изначальная информация о какой-либо ситуации задается в виде текста (условия). Требуется, используя эту информацию, дать качественное объяснение описанному в тексте процессу с помощью понятийного аппарата механики Ньютона или получить численные значения каких-либо физических величин.

Отметим, что в преобладающем большинстве учебных задач информация уже изначально задается как информация, описывающая физически процессы.

При этом в условии должна даваться полная информация, достаточная для однозначного решения задачи. В сложных задачах эта информация присутствует в неявном виде и чтобы сделать ее явной, часто надо предпринимать большие интеллектуальные усилия. Нет общего алгоритма получения информации из условия в явном виде, так как нет общего алгоритма решения задач, который бы позволил решать все задачи пусть по длинным схемам, но механически. Однако можно задавать некоторые структурные схемы решений, общие для определенного класса задач и осваивать их практически на так называемых базовых задачах.

Базовая задача - простая задача, характерная для большого числа ситуаций и имеющая поэтому универсальное значение. Зная решение базовой задачи, можно использовать его для решения других задач, которые (для какого-либо класса ситуаций) представляют собой усложненные варианты базовой задачи.

Структурные схемы не гарантируют и не обеспечивают решения, но помогают упорядочить исходную информацию, перевести ее в физическую ситуацию, задают порядок действий, что существенно ускоряет и облегчает процесс решения, особенно для тех обучаемых, которые не имеют опыта решения задач и у которых не выработана собственная стратегия решения задач. Более того, такие схемы помогают понять, как в целом решаются физические задачи, что важно для не-физика, который в своей профессиональной работе вынужден иметь дело с физическими знаниями (моделями, теориями, формулами и т.п.), а значит должен уметь быстро и эффективно осваивать готовую физическую информацию, не получая ее сам - этим занимаются физики.

Чтобы построить такую схему (вернее, возможный вариант, так как нет правил, устанавливающих однозначное построение), рассмотрим, как решаются задачи в механике Ньютона.

Итак, решение задачи начинается с упорядочения исходной информации, для приведения ее в удобное для решения состояние. Эта процедура включает выделение из текста объектов, их свойств, поведения и анализ на определение этапов процесса, возможных вариантов на каждом этапе процесса, особенностей конкретной ситуации. Далее таким образом упорядоченную ситуацию переводят в элементы физического процесса, т.е. объекты в физические модели объектов, свойства объектов - в физические величины, поведение объектов - в физически законы или другие функциональные связи физических величин, особенности конкретной ситуации также переводятся на язык функциональных зависимостей физических величин. Такая процедура проводится для каждого этапа процесса и для каждого возможного варианта на заданном этапе. Таким образом, изначально заданная ситуация переводится полностью в физическую.

Так как физическая ситуация задается физическими величинами и их функциональными связями, то любой элемент ситуации принципиально измерим, т.е. каждый этап решения задачи может быть экспериментально проверен.

Однако, если решение задач проводится с использованием математических операций, то надо перевести физическую ситуацию в ситуацию математическую: т.е. физические модели в модели математические, свойства физические - в параметры математические, физические законы - в математические формулы законов. Перевод в математическое представление осуществляется и для всех других функциональных связей.

Цель перевода - получение полной системы математических уравнений, решение которой давало бы значение требуемых физических величин. Для однозначного решения число уравнений системы должно быть равно числу неизвестных (искомых величин). Если система полная, то переходят к математическому этапу решения задачи. Если не хватает уравнений, то начинают поиск дополнительной информации.

Методы поиска дополнительной информации мы рассмотрим ниже, а сейчас допустим, что в результате указанных ранее условий мы получили полную систему уравнений, которую надо решить.

Решение системы уравнений (как математической) проводят чисто математическими методами и получают математическое решение - формулу, связывающую математические символы. Однако нам надо получить числовое значение физической величины. Значит, надо выбрать устраивающую нас систему единиц измерений (обычно СИ) и вместо каждого символа подставить в формулу соответствующее этому символу значение физической величины. Тем самым осуществляется обратный переход от математического представления ситуации к физическому. Затем проводят арифметические операции с числами и размерностями и получают численное значение искомой физической величины. Полученную величину проверяют на размерность и реальность. После этого можно считать задачу решенной.

Рассмотрим подробней отдельные этапы решения.

1.6.2.1. "Упорядочение исходной информации"

В правильно составленном условии задачи каждый объект играет свою роль при получении решения. Поэтому надо грамотно выделить и описать все объекты, заданные в тексте, их свойства и поведение. Если задана изначально какая-нибудь произвольная ситуация, то в этом случае тоже надо выделить все объекты, заданные в ситуации, их поведение и свойства. При этом рассматриваются, во-первых, только измеримые свойства, во-вторых, только те свойства, которые используются при описании механического движения, т.е. геометрические (форма, размеры) и механические физически свойства (кинематические и динамические). Что касается поведения объектов, то (поскольку наша задача - описать механическое движение) надо описать: а) движется объект или покоится; б) с какими телами взаимодействует и какими силами (контактными или дальнодействующими). В процессе движения и взаимодействия может изменяться количество объектов, их свойства, качественный характер поведения и т.п., т.е. процесс движения может состоять из нескольких этапов. В этом случае надо процесс разбить на отдельные этапы и упорядочить исходную информацию для каждого этапа по указанной выше схеме, т.е. выделить этапы и для каждого этапа привести упорядочение по схеме: объекты, свойства, поведение. В силу различных причин (например, неоднозначности некоторых физических величин) в рамках каждого этапа процесса возможны различные варианты протекания процесса. Поэтому надо провести анализ на возможность различных вариантов и учесть при решении все возможные варианта, они выявляются или на этапе качественного рассмотрения (ситуации или физической eе модели) или на этапе математического рассмотрения (решений).

1.6.2.2. Перевод упорядоченной исходной информации в физический процесс

Объекты как реальные тела имеют физические свойства. Однако механика Ньютона используется не для работы с реальными телами, а для работы с физическими моделями реальных тел. Поэтому требуется перевод объектов в физические модели объектов, свойств объектов в свойства физических моделей, поведение объектов в поведение физических моделей.

Выбор модели объекта производится посредством сравнения формального определения модели со свойствами объекта и условиями, заданными в задаче. При этом надо внимательно анализировать условие и свойства объекта. Так, например, биллиардный шар при его движении по столу можно считать материальной точкой, если только он скользит, если же он катится, то его материальной точкой считать нельзя, поскольку при движении он вращается вокруг собственной оси, что для точки (как объекта, не имеющего структуры) недопустимо.

Так, при расчете сил взаимодействия между Луной, Землей и Солнцем их можно заменить моделью "материальная точка". Однако, если требуется узнать время прохождения тени Луны по Земле во время солнечного затмения, то Луну и Землю нельзя считать материальными точками. Геометрия не изменилась, но условия (по сравнению с предыдущим примером) изменились, появился еще один объект - солнечный луч, поведение и свойства которого надо учитывать.

Иногда модель используется тогда, когда формальные условия для нее не выполняются. Обычно это связано с тем, что нельзя решить задачу с реальным эквивалентом - она очень сложная и приходится задачу упрощать (редуцировать). Например, если требуется определить длину прыжка спортсмена, то мы вынуждены "считать" его материальной точкой, поскольку не имеем средств для учета движений отдельный частей тела при прыжке, которые существенно влияют на длину прыжка.

Свойствам объектов ставятся в соответствие свойства моделей объектов, формализованных в рамках механики Ньютона.

Словесное описание "поведения объекта переводится на язык физических формул". При этом формула (или другая функциональная связь физических величин) пишется для каждого этапа процесса и для каждого варианта на каждом этапе. Физические формулы означают, что в нее входят физические величины, а значит эту формулу можно проверить экспериментально. Часто полезно сначала описать качественно с использованием общих принципов физическую ситуацию. Иногда это позволяет решить задачу и без обращения к полной системе уравнений.

1.6.2.3. Математический этап решения задачи

Физические модели объектов переводят в математические (например, материальную точку в геометрическую точку). Физические величины переводят в величины математические (например, ускорение - во вторую производную радиуса-вектора по времени). Физические законы и функциональные связи физических величин переводят в математические [например, , где - физические величины в ]. Если в результате перевода образовалась полная система уравнений, то переходят к ее решению.

Для этого надо перевести полученную систему в форму, удобную для проведения математических операций. При переводе от физического представления к математическому часть законов приобретает векторный характер (например, второй закон Ньютона), а часть связей остаются скалярными (формула для пути).

Обычно переводят систему в скалярное представление. Для этого надо выбрать прямоугольную систему координат и связать ее с телом отсчета. Направить оси так, чтобы система уравнений, записанная в скалярном виде, была как можно проще. Так, если движение одномерное, следует направить одну из осей координат вдоль линии движения. Далее следует указать положительное направление осей и использовать стандартные правила выбора знаков при записи векторного уравнения в проекциях на оси: если составляющая вектора вдоль данной оси совпадает с положительным направлением оси, то проекция вектора на эту ось имеет знак +, если противоположна положительному направлению, то берется знак -. При этом для всех моделей объектов задается одна координатная система. Когда все уравнения переведены в скалярную форму - проводится процесс решения системы уравнений - чисто математический процесс. В результате решения получаем искомую величину в виде математической формулы a = f(x, y, z, p...).

Иногда, когда все уравнения системы векторные, то удобней проводить операции в векторной форме до получения решения в векторной форме, а уже конечную формулу переводить в скалярную форму.

Итак, в результате математических операций получаем математическую формулу.

Так как ищется значение физической величины, то делается обратный переход от математической к физической модели.

1.6.2.4. Получение значений физической величины

Все величины, входящие в формулу решения, опять считаются физическими и должны быть представлены в одной системе единиц (обычно СИ). Каждый символ в формуле заменяется соответствующей физической величиной (т.е. задается численное значение величины и ее размерность). Затем проводятся арифметические операции с величинами и их размерностями.

Надо помнить, что разные размерности можно умножать и делить друг на друга, но нельзя складывать или вычитать. Складывать и вычитать можно только величины одинаковых размерностей. Так, например, к трем метрам можно прибавить два метра или вычесть 1 метр, но нельзя к трем метрам прибавить один килограмм, или из трех метров вычесть два ньютона).

Итак, в результате арифметических действий с величинами в конечной формуле получают числовые значения искомых физических величин в заданной системе единиц измерений. Полная проверка полученного результата требует его экспериментального подтверждения. Однако при решении задач обычно ограничиваются тем, что проверяют полученный результат на размерность и оценивают его реальность, т.е. сравнивают полученное значение величины с имеющимися стандартами. Так, если в результате решения получена скорость паровоза 300 км/час, то реальность такого результата сомнительна.