1.6.2.5. Теперь рассмотрим простой пример.

Задача. Над ямой, глубиной h =1 м, бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью V₀ = 9 м/сек. Через какое время камень упадет на дно ямы? Сопротивление воздуха не учитывать. Рассмотрим решение в соответствии с заданной схемой.

1. Упорядочение исходной информации.

Итак, заданы объекты: камень, Земля, яма.

Камень

Свойства: геометрические свойства камня не заданы. Из физических свойств задана начальная скорость V₀ = 9 м/сек, направленная вертикально вверх.

Поведение камня можно разбить на три этапа.

1 этап: камень начинает движение с Земли вертикально вверх.

2 этап: камень движется, взаимодействуя с Землей.

3 этап: камень попадает на дно ямы, прекращая движение.

Земля

Геометрические и физические свойства не заданы. Находится в покое в течение всего процесса.

Яма

Из геометрических свойств заданы глубина h = 1 м. Физических свойств не задано. Находится в покое в течение всех этапов процесса.

2.Перевод в формализованную физическую ситуацию.

Модель камня: считаем материальной точкой.

Модель Земли: абсолютно твердое тело с плоской поверхностью.

Модель ямы: полость цилиндрической формы в абсолютно твердом теле с дном, параллельным его поверхности.

Общая конфигурация физической ситуации должна быть построена так, чтобы можно было проводить измерение ее параметров в любой момент времени. В учебных задачах это основной роли не играет, но в научных исследованиях важно Поэтому начальная конфигурация физической ситуации следующая (рис.44 а).

На дно ямы поставлена измерительная линейка, при этом начало отсчет шкалы совпадает с уровнем дна. Рядом поставлены часы.

Поведение физической модели камня (материальной точки)

1. В начальный момент времени t₀ = 0 материальная точка с поверхности абсолютно твердого тела начинает движение вертикально вверх с начальной скоростью V₀. В этот момент положение камня, определяемое измерительной линейкой, по условию, равна h. (Рис.44а)

2. Поскольку Земля плоская, абсолютно твердая и покоится, то в результате взаимодействия с Землей тело приобретает постоянное ускорение g = 9,8 м/сек, направленное вертикально вниз. Это значит, что тело будет все время двигаться только в вертикальном направлении; в любой момент времени движения его положение, определяемое измерительной линейкой, равно

h(t) = h(0) + V₀t - ,

где h(0) - положение в начальный момент времени, определено при анализе первого этапа процесса h(0) = h. (рис.44 б,в)

3. В момент прекращения движения (конечный момент движения t_K) материальная точка находится на дне ямы. Ее положение, измеряемое линейкой в этот момент времени h(t_K) = 0. (рис. В)

Итак, в результате "перевода" исходной ситуации бросания камня в физическую ситуацию получаем формализованное описание трех этапов движения физической модели камня (материальной точки) (рис.44 г).

Математическая часть

Теперь надо перейти в математическую схему. Надо выбрать удобную систему координат. Так как движение одномерное, то удобно выбрать одну координатную ось OY, направив ее вдоль измерительной шкалы и взяв за нулевое значение координатной оси 0 измерительной шкалы линейки. Тогда при переходе в математическое представление материальная точка переходит в математическую точку, физические величины - в математические величины: показания линейки h - в координату y, скорость V₀ - в скорость V₀, ускорение g - в ускорение g.

Поведение физических моделей объектов на трех этапах процесса в поведение математических объектов

y(0) = h

y(t) = y(0)+V₀ t-gt² /2

y(t_n ) = 0

Эти уравнения математические. В них есть параметр t, который может быть и положительным и отрицательным.

Реальное время (как физическая величина) только положительное. В реальных измерениях это выполняется автоматически. Поскольку должно быть соответствие математических величин физическим, надо в полученную систему уравнений добавить t > 0. Решение этой системы дает значение t_k

t_K =

Получили математическую формулу. Теперь надо "вернуться" опять к физической ситуации.

Для нахождения значений физической величины выберем систему СИ.

Подставим значение и размерности величин в формулу и проведем арифметически операции с величинами и размерностями.

Данный пример представляет простую задачу, в которой: а) полученная физическая система уравнений имеет тот же вид, что и математическая. Это связано с тем, что для решения задачи уравнения использовались как алгебраические; б) в данной задаче на всех этапах имели место единственные варианты.

Как уже указывалось, могут быть разные варианта, причем выявляться они могут как на этапе рассмотрения начальной ситуации, так и на этапе физической и/или на этапе анализа решений уравнений.

Так, часто в динамических задачах при наличии сил трения и требующих решения в общем виде (т.е. численные значения не заданы) могут иметь место различные варианты протекания процесса. Например, пусть задана система в виде двух тел массами m₁ и m₂, связанных нитью, перекинутой через блок и пропущенной через щель в балке, где на нить действует сила трения F. Требуется найти ускорения тел.(рис.45 а)

Если бы сил трения не было, то направление движения грузов значения не имеют. Наличие силы трения требует точного знания направления движения груза. Если оно не задано, то возникает три варианта:

1. сила трения столь велика, что грузы покоятся;

2. тело m₁ движется вниз, тогда уравнение движения m₁ a = mg - F - T, где Т - сила натяжения нити; (рис.45 б)

3. тело m₁ движется вверх, тогда уравнение движения m₁ a = mg + F - T. (рис.45 в)

Иногда наличие различных вариантов выявляется уже в ходе анализа начальной заданной ситуации. Так, например,

в задаче: "На рельсах стоит гладкая горка массы М и высоты Н. На горку наезжает со скоростью V тележка массы m. Какую скорость приобретет горка после того, как тележка ее покинет?"

Уже изначально «проглядывают» два варианта.

1. Тележка наезжает на горку и, не достигнув ее вершины, откатится назад.

2 . Тележка наезжает на горку, проезжает через нее и движется в том же направлении.

Решение задачи требует рассмотрения обоих вариантов. Иногда варианты проявляются в ходе анализа окончательного решения.

Например, в задаче, где палочка длины L с двумя закрепленными грузиками массой m каждый начинает падать от стены комнаты из вертикального положения и требуется Рис.46 найти зависимость силы давления палочки на стену от угла  (рис.46).

Стандартное рассмотрение приводит к системе уравнений

решение которой дает два варианта

при ₀= 42^o    90^o 0    ₀

Обычно используют укороченный метод решения задач: не расписывают подробно все этапы решения, а дают краткую запись исходных данных с указанием, что надо получить, и рисунок (чертеж). В ранее рассмотренной задаче о падении камня такая запись и чертеж выглядят так.

Дано: h = 1 м, V₀ =9м/сек, g = 9,8 м/сек²

t_K = ?

Р ешение выглядит так: поскольку имеет место движение тела, брошенного вертикально вверх, то используя общую формулу движения

и выбранную систему координат, можно записать

y = h + V₀ t -

Рис.47. В момент падения координата камня y(t_n) = 0, откуда

0 = h + V₀t_n +

Решая это уравнение относительно t и отбрасывая отрицательное решение, получим

.

Если у обучающегося есть опыт решения задач различной сложности и сформированы собственные стратегии решений, то использование стандартных укороченных схем - это нормально. Однако, если такого опыта нет, то полезно работать в рамках использования полных схем.

Не все задачи такие простые, как только что рассмотренные. При решении сложных задач ранее рассмотренных операций недостаточно, так как приходится для получения полной системы уравнений проводить поиск дополнительной информации. Поиск дополнительной информации проводится всеми способами, которыми владеет решающий: от формализованных способов до эвристического узнавания. Рассмотрим некоторые наиболее часто используемые способы нахождения дополнительной информации.

1.6.3. Построение систем объектов из начально заданных

Системы объектов как новые образования дают новые физические величины (импульс системы, момент импульса системы, центр масс, потенциальная энергия и т.д.), новые физические законы для разных типов систем (замкнутых, незамкнутых, консервативных, диссипативных, ...), характерные точки и т.п. - все это позволяет получить дополнительные уравнения. Более того, в некоторых классах задач способ построения систем из заданных в условии объектов является единственным способом, использование которого позволяет решить задачу.

Т аким образом, при использовании этого метода следует из заданных в условии объектов скомбинировать систему объектов, определить тип системы и использовать общие параметры и законы, характерные для построенных типов систем.

Пример. Нить длины с привязанным к ней шариком массы отклоним на 90^o от вертикали и отпустим. На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, зацепившись за него, порвалась, если она выдерживает

Рис.48 силу натяжения Т (рис.48).

Второй закон Ньютона . Таким образом, если натяжения в нижней точке Т_х превышает Т, т.е. если , нить рвется. Учет вращательного характера движения дает .

Система уравнений неполная. Для полноты системы необходимо дополнительное уравнение. Скомбинируем систему из заданных по условию тел: шарика, нитки и Земли. Так как сил сопротивления нет, то система консервативна и для нее выполняется закон сохранения механической энергии: , где - кинетическая, а - потенциальная энергия системы. Примем за ноль потенциальной энергии самое низкое положение шарика. Тогда в этом положении , . В самом верхнем положении , E = 0. Откуда получаем дополнительное уравнение для скорости.

Решая систему, получаем x_min = при .