3 (Лекции по механике), страница 5

Примером вихревого течения может служить плоское течение, когда частицы жидкости вращаются по концентрическим окружностям с одинаковой угловой скоростью (рис.38).

Рис.38 В этом случае Г = .

Рассматриваемое нами поведение жидкости относилось к кинематическому. Сейчас мы рассмотрим некоторые аспекты динамического поведения жидкости. Наша задача стандартна ‑ используя аксиоматику Ньютона вывести динамическое уравнение движения для жидкостей (сплошной среды).

В ыделим в жидкости частицу в форме куба объемом d = dx dy dz, находящуюся в точке (x, y, z). Эта частица будет испытывать действие контактных сил со стороны окружающих частиц и действие силы тяжести (дальнодействующей силы) (риc.39).

Контактное воздействие определяется давлением Р. Так, на грань снизу действует сила F_ = P , а на противоположную сила F_ = (P + P) = P₁ . Так как размеры кубика малы, то P = P₁ - P - малое приращение давления на длине (т.е. вдоль направления оси Z). При этом давление может изменяться и в других направлениях, но нас сейчас интересуют изменения давления только вдоль оси Z, поэтому при рассмотрении приращения Р координаты x, y и время t считаются постоянными. В этом случае

где - частная производная функции Р(x, y, z, t), взятая при заданных дополнительных условиях (постоянство x, y, t).

Итак, вдоль оси z на кубик действует сила

- объем кубика.

Сила тяготения, действующая на рассматриваемую частицу, равна , где - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, - удельный вес.

Тогда по второму закону Ньютона

или

где - компонента скорости по оси z.

Аналогичным способом найдем, что в направлениях двух других осей
(x, y) ,

так как сила тяжести направлена вдоль оси z.

Чтобы записать полученную систему скалярных уравнений в векторном виде, введем единичные орты и тогда

Вектор обозначается символом и называется градиентом давления.

Окончательно получим + .

Формула носит название основного закона гидродинамики для идеальной (без трения) жидкости (или газа). Формула справедлива и для стационарного и нестационарного потоков идеальной жидкости. При этом в нестационарном потоке все величины (, V, P) зависят и от координат и от времени t.

При рассмотрении стационарного течения удобно использовать трубки тока.

Итак, используя аксиоматику Ньютона с помощью математических операций, получен закон, описывающий движение идеальной жидкости.

1.5.7.3. Частные случаи использования закона. Гидростатика.

В случае гидростатики закон принимает вид =

(производные по времени равны нулю); при этом, если не учитывать вес жидкости, то получим = 0, т.е.

и как следствие: давление во всех точках покоящейся жидкости одинаково, т.е. закон Паскаля.

Если вес воды учитывать, то = . Если выбрать систему координат с направленной вверх осью Z, то уравнение примет вид

При механическом равновесии давление зависит только от координаты Z. Если жидкость однородна и несжимаема ( = const), и ускорение свободного падения g – постоянно, то в результате интегрирования получим , где - давление жидкости на высоте z = 0.

Если начало координат поместить на свободной поверхности жидкости, Р будет атмосферным давлением. Эта формула также определяет давление жидкости на дно и стенку сосуда, а также на поверхность всякого тела, погруженного в жидкость.

Используем эту формулу для нахождения сил, действующих со стороны жидкости на погруженное в жидкость тело. Для простоты возьмем тело кубической форму, хотя полученные результаты будут верны для тела любой формы (рис.40).

Пусть в жидкости на глубине Z находится тело кубической формы (со стороной куба h) плотности . Систему координат выберем, как показано на рисунке: оси 0X, 0Y вдоль свободной поверхности жидкости, ось 0Z - вертикально вниз.

Так как силы, действующие на боковые поверхности тела равны по величине и противоположны по направлению (что следует из основного закона), то со стороны жидкости на тело действует результирующая сила

F = F₁ - F₂ = -[P₀ + _жg (z₁ + h) - P₀ _жgz₁] S, здесь ρ_ж – плотность жидкости.

Действительно, сила, действующая на нижнее и верхнее основание куба: F_i = P_i(z)S, S =- const. Для верхнего основания P_z1 = P₀ +_жgZ₁ , для нижнего основания P(z₁ + h) = P₀ + _жg (z₁ + h). При этом направления сил F₁ и F₁ противоположны. В соответствии с выбранным направлением оси z:

F₁ > 0; F₂ < 0.

Итак, раскрывая скобки и проводя арифметические операции, получим

F = - _жg h S = -_ж gV = F_выт ^– «выталкивающая сила».

Тело находится в равновесии, т.е. для него выполняются условия статики:

Таким образом, , т.е. тело, погруженное в жидкость (или газ) и находящееся в равновесии, весит столько, сколько весит вытесненная этим телом жидкость. С другой стороны, чтобы момент внешних сил был равен нулю, они должны быть приложены в центре масс вытесненной телом жидкости. Итак, как следствие, имеем закон Архимеда: "на тело, погруженное в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, направленная вверх, численно равная весу вытесненной телом жидкости и приложенная в центре масс вытесненной телом жидкости".

Т еперь рассмотрим движение стационарной несжимаемой жидкости (рис.41).

Возьмем трубку тока. Введем координату S вдоль осевой линии трубки. Так как поток стационарен, то скорость V = V(S) является функцией только координаты S'. Пусть частица, которая в момент времени t имела координату S и скорость V(S) за время dt сдвинется на dS₁ Скорость частицы в новом положении

V₁ = V(S) +dV = V(S) + dS

Смещение частицы dS₁ за это время

dS₁ = V(S)dt, тогда dV = V(S)dt

Ускорение частицы

или, проводя стандартную операцию, получим

.

Основное уравнение гидродинамики в этом случае будет иметь вид

где =_жg и _ж - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения,  - угол между вертикалью и направлением осевой линии трубки тока в данном сечении.

Если h - высота того места, где находится частица с координатой S, то смещение частицы на dS связано с изменением (уменьшением) высоты dh следующим образом или

Подставляя в основное уравнение гидродинамики, получим

или P + _жgh + const

Это уравнение Бернулли для стационарного течения несжимаемой жидкости.

1.5.8. Модель «Волна в сплошной упругой среде».

Возьмем тонкий стержень, сделанный из упругого материала, расположим его вдоль оси 0Х и в какой-то момент времени (t=0) создадим в этом стержне неоднородную продольную деформацию, при которой смещение точек стержня относительно их равновесных положений будет описываться функцией _x (х, 0) (функция обычно носит название ‑ возмущение). Надо определить, как будет вести себя изначально созданное в стержне возмущение со временем, т.е. определить вид функции _x(x, t).

Для этого рассмотрим малый элемент стержня длиной х и массой m, заключенный между поперечными сечениями стержня с координатами х и х + х (рис.42).

С огласно второму закону Ньютона

m = F (x + x,t) - F(x, t),

где _ц.м. - смещение от равновесного положения центра масс выделенного элемента: - ускорение центра масс элемента. F(x + x) и F(x) - проекции на ось х сил, действующих на данный элемент со стороны частиц, расположенных справа и слева от него где - плотность стержня.

Так как среда упругая, то справедлив закон Гука ,

откуда F =  S, где  =E (В дифференциальной форме = E - см. ранее). Поэтому F_x (x + x; t) - F_x (x, t) = S[ (x + x, t) - (x, t)] =

=

масса элемента m = S x , где  - плотность стержня. И тогда второй закон Ньютона для рассматриваемого элемента стержня после деления левой и правой части на S будет иметь вид:

x

Разделив обе части этого уравнения на х и при х  0 (при этом ) получим

или

Вспомним (см. ранее), что в случае предельных небольших возмущений в упругом стержне равно квадрату скорости возмущения c²_, поэтому - это уравнение и описывает распространение возмущений по стержню. Его называют уравнением плоской волны, а возмущение - волной, распространяющейся вдоль оси х.

Решение этого одномерного уравнения будет иметь вид ± , где знак "минус" для волны, распространяющейся вдоль положительного направления х, знак "плюс" - для противоположного направления распространения. Функция может быть любой непрерывной функцией своего аргумента, она определяет форму волны, распространяющейся без искажения с постоянной скоростью с.

В частности, решением данного уравнения является синусоидальная волна вида  (x, t) = A sin (t - kx), где  - круговая частоты волны, равная 2/Т, где Т - период волны, k - волновое число, которое определяется как k = , где  - величина, называемая длиной волны.

Длиной волны  называется путь, который проходит возмущение за время, равное периоду Т:  = сТ.

При выводе уравнения волны (см. ранее) мы видели, что для создания волны необходимо задание исходного возмущения в начальный момент времени.

Пусть размеры источника исходного возмущения много меньше длины порождаемой им волны. Некоторое возмущение, имеющее определенное значение фазы, распространяется от источника по всем направлениям, занимая в пространстве некоторую поверхность. Эта перемещающаяся со скоростью волны поверхность, во всех точках которой возмущение имеет одно и то же постоянное значение фазы, называется фронтом волны. Положение фронта волны в какой-либо фиксированный момент времени называется волновой поверхностью. Во всех точках волновой поверхности возмущения совершают синфазные движения. По форме фронта волны классифицируются на сферические, плоские и т.п. Волна, у которой фронт плоский, называется плоской. Плоская волна, распространяющаяся вдоль какой-либо оси (например, вдоль оси Х) описывается той же формулой, что и одномерная волна, распространяющаяся вдоль оси Х, т.е.