3 (Лекции по механике), страница 4

Рассмотрим конкретную задачу о нахождении скорости распространения малых продольных возмущений в стержне, который рассматривается в модели упругой сплошной среды, при этом считаем, что возмущения возникли в результате действия постоянной силы F, приложенной в некоторый момент к его свободному концу.( Рис.32)

Рис.32 Этот момент примем за начало отсчета времени. В возмущенной области стержня все вещество в любой момент времени t движется с постоянной скоростью V, а сам стержень в указанной области всюду деформирован одинаково. Если m - масса деформированной части стержня в момент времени t, то его импульс в этот момент будет . Приращение импульса стержня за время dt равно импульсу действующей на тело силы или

.

Так как по условию скорость возмущения постоянна, то имеем

.

За время возмущение проходит путь , где - скорость возмущения, так что масса возмущенной части стержня будет , где  - плотность, а S - площадь поперечного сечения стержня. Получим или , где - давление в возмущенной части стержня. Вообще говоря, в возмущенной части стержня и , и S изменяются, но для слабых возмущений этим можно пренебречь.

Согласно закону Гука или . Теперь отметим, что к малому моменту времени t правый конец сжатой области стержня В еще не успел переместиться, тогда как левый свободный конец А’ двигался в течение времени t и переместился на расстояние , в результате длина возмущенной области стержня по сравнению со своей исходной длиной укоротилась на . Поэтому и . Исключая из формул расчета и , получим, что . Это и есть формула, определяющая скорость распространения возмущений в данном случае, полученная как следствие второго закона Ньютона для модели упругой сплошной среды.

Заметим, что при выводе формулы для скорости, закон Гука использовался в упрощенном виде с учетом того, что возмущение в данной задаче однородно. В случае неоднородных, зависящих от времени возмущений при расчетах требуется уже математическая (дифференциальная) форма закона Гука. Позднее мы в этом убедимся при рассмотрении волнового движения.

При описании сплошных сред используется аппарат математической теории поля.

Векторным или скалярным полем называется область пространства, каждой точке которой отнесено значение некоторого вектора или скаляра. Так как каждая точка пространства (и, следовательно, поля) определяется ее радиусом-вектором R,, то задание векторного или скалярного поля эквивалентно заданию некоторой векторной или скалярной функции [ ( ) или ( )]. Функции ( ) и ( ) могут, конечно, зависеть, помимо , и от других каких-либо аргументов (например, от времени), и считаются непрерывными и дифференцируемыми относительно всех аргументов.

Используем полевые представления для описания поведения жидкостей и газов.

1.5.7. Модель «жидкая сплошная среда»

Так как при своем движении жидкость непрерывно занимает определенную область пространства и в каждой точке этого пространства (которой соответствует вектор ) находится частица жидкости, имеющая в данный момент времени скорость , то математически можно представить себе картину текущей жидкости при помощи векторного поля скоростей частиц.

Течение жидкости бывает стационарным (установившемся) или нестационарным (неустановившемся).

Стационарным называют такое течение жидкости, при котором все величины (скорость, давление, плотность), характеризующие жидкость, остаются постоянными все время, в каждом месте пространства, занятого жидкостью. Если параметры жидкости зависят от времени, то движение нестационарно.

Даже проблема описания стационарного движения жидкости (по трубам, рекам...) представляет сложную проблему уже с кинематической точки зрения, поскольку во всех точках пространства, занятого жидкостью, скорости частиц различны по величине и направлению.

Возьмем поток движущейся жидкости и поместим в него (мысленно) твердое колечко А (из тонкой нити) поперек потока, причем в плоскости, ограниченной колечком, все частицы жидкости имеют одинаковые скорости, направленные перпендикулярно плоскости кольца. (Рис.33).

Теперь проведем траектории всех частиц, которые коснулись колечка с внешней стороны. Совокупность этих траекторий образует трубку. Такую трубку можно продолжить вдоль по частицами, которые когда-то прошли вблизи кольца, течению, стенки ее будут образованы,

а также вверх по течению ее стенки образованы теми частицами, которые пройдут около нити в свое время. Так как жидкость непрерывна, то стенки трубки можно считать непроницаемыми. Скорость частиц на стенках трубки касательна к поверхности трубки. Можно все пространство текущей жидкости разбить на такие трубки тока.

Итак, для описания жидкости в полевом представлении вводятся понятия линии тока и трубки тока.

Линией тока называется линия, к которой векторы скорости касательны во всех ее точках. При стационарном течении жидкости линии тока являются траекториями частиц жидкости.

Трубкой тока называется часть текущей жидкости, ограниченная поверхностью, образованной линиями тока.

При нестационарном течении можно представить себе трубки, но они уже не будут образованы траекториями частиц.

При полевом описании стараются использовать такие характеристики, которые определяются только свойствами самого поля и не зависят от выбранной системы координат. Такие характеристики поля называются инвариантными. В качестве таких характеристик используют величины: поток вектора скорости жидкости и циркуляция вектора скорости жидкости.

1.5.7.1.Поток вектора скорости жидкости

П оток вектора скорости жидкости dN через элемент поверхности dS' равен (Рис.34)

.

Здесь - внешняя нормаль к элементу поверхности dS.

Видно, что dN есть объем жидкости, за единицу времени в

Рис.34 направлении внешней нормали, протекающей через элемент поверхности dS.

Поток вектора через конечную произвольную поверхность .

Часто имеют дело с вычислением потока через замкнутые поверхности (шара, куба и т.п.). В этом случае у знака интеграла ставится кружок и .

О чевидно, что этот поток равен количеству объема жидкости, вытекающей в единицу времени из объема ограниченного замкнутой поверхностью S. Если < 0, то это значит, что внутрь поверхности втекает больший объем жидкости, чем вытекает из него. Если > 0, то это значит, что наружу с поверхности вытекает больше жидкости, чем втекает внутрь. Если

= 0, то объемы втекающей и

Рис.35 вытекающей жидкости равны.

Рассмотрим трубку тока в стационарном потоке жидкости и посчитаем поток скорости жидкости через замкнутую поверхность, ограниченную боковой поверхностью трубки и двумя перпендикулярными сечениями S₁ и S₂, в которых значение скоростей соответственно и (Рис.35).

Поток вектора скорости жидкости через замкнутую поверхность будет складываться из потоков через сечение S₁, S₂ и боковую поверхность. Так как в каждой точке боковой поверхности скорость направлена по касательной к линиям тока, из которых построена трубка, то поток жидкости через боковую поверхность равен 0.

Поток через сечение S₁ отрицательный, так как угол между направлением скорости и направлением внешней нормали равен 180^о (сos 180^о= -1).

Поток через сечение S₂ положительный, так как этот угол равен нулю. Отсюда поток через замкнутую поверхность

Так как поток стационарный и плотность жидкости постоянна, то параметры жидкости не зависят от времени и следовательно N = 0, другими словами, при стационарном течении сколько жидкости входит в замкнутый объем, столько и выходит. В противном случае внутри будет накопление жидкости, что должно привести к изменению ее параметров. Таким образом, получаем V₁S₁ = V₂S₂ - уравнения неразрывности для стационарного потока несжимаемой жидкости.

1.5.7.2. Циркуляция вектора скорости жидкости

П роведем (мысленно) в жидкости произвольный замкнутый контур С и установим на нем положительное направление обхода. Пусть - единичный вектор касательной к контуру, - элемент длины контура. и проведены в

положительном направлении (Рис.36). Интеграл

Г = = называется циркуляцией вектора

Рис.36 скорости жидкости по контуру С.

Если Г = 0, то течение жидкости называется потенциальным. Если Г  0, то движение называется вихревым.

Определение потенциального течения полностью аналогично определению консервативных сил, поэтому при потенциальном течении

- интеграл, взятый вдоль незамкнутой кривой, соединяющей точки А и В, зависит только от положения крайних точек А и В и не зависит от формы кривой.

П римером потенциального течения может служить течение жидкости вдоль параллельных прямых линий с постоянной скоростью (рис.37).

Пусть имеется такой поток. Выберем в потоке контур и посчитаем циркуляцию вектора скорости жидкости вдоль данного замкнутого потока: = Г.

Зададим положительное направление обхода Г = Г_AB + Г_BC + Г_CD + Г_DA

Рис.37 Г_CD = Г_AB = 0, так как на этих участках и V_l = 0.

Г _DC = - Г_AD, так как на этих участках ВС=АD, но знаки косинуса различны: Таким образом, получаем, что .