рк1 теория 2 (Неопределенный интеграл)

2) Теорема о среднем: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] . Тогда существует точка ξ ∈ [a, b] такая, что

_a ^b f(x)dx=f(ξ) · (b − a)

Д-во: Т.к. f(x) непрерывна на [a,b] , то эта функция достигает на этом отрезке своего min значения m и max значения M и принимает все значения из отр. [m, M]. Далее, из неравенства mf(x) M получаем, что m(b − a) _a ^bf(x)dxM(b-a)

или m(1/(b-a)) _a ^bf(x)dxM. Поэтому существует число ξ ∈ [a, b] такое, что

f(ξ) = (1/(b-a)) _a ^bf(x)dx . Отсюда следует требуемое. Теорема доказана.

3) Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом:

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и непрерывна в некоторой точке x этого отрезка. Тогда функция (*) дифференцируема в точке x , и F′(x) = f(x).

Д-во: Достаточно доказать, что (1)

Оценим сверху модуль выражения под знаком предела:

Ф-ия f непрерывна в точке x, то (0) (()>0):(t:|t-x|>=>|f(t)-f(x)|< /2) =>

Если |x|<, это означает справедливость (1). Теорема доказана

4) Теорема Ньютона-Лейбница:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] , и Φ(x) - какая-либо первообразная этой функции на указанном отрезке, то (1)

Д-во: Одной из первообразных функции f(x) является

две первообразные функции f(x) различаются только на константу, т.е.

Подставляя сюда x = a , получаем, что C = Φ(a). Поэтому:

При x = b получаем требуемую формулу. Теорема доказана. Эту формулу часто записывают в виде

5) Теорема об интегрировании по частям в определённом интеграле: Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b]. Тогда:

Д-во: Рассмотрим функцию

Имеем F′(x) = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x) − u′(x) · v(x) = u(x) · v(x)

Следовательно, F (x) − первообразная для u(x) · v(x) . По формуле Ньютона-Лейбница получаем:

Теорема доказана.

6) Признак сходимости по неравенству для несобственных интегралов 1-го рода: Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b] и для любого x∈ [a, b] выполняется нерав-во 0f(x)g(x).

1. Если g(x)dx –сход., то f(x)dx – сход.

2. Если f(x)dx –расх., то g(x)dx – расх.

Д-во: Из неравенства f(x) g(x) следует, что для любого b

Если второй̆ из этих интегралов сходится, то, из-за g(x)>=0, для некоторой̆ константы C при всех b >= a выполняется неравенство:

_a^bg(x)dxC

Но тогда из предыдущего неравенства для интегралов следует, что при b >= a:

_a^bf(x)dxC. Отсюда вытекает сходимость последнего интеграла.

Если интеграл f(x)dx расходится, а интеграл g(x)dx сходится, то мы получаем

противоречие с только что доказанным. Поэтому расходимость первого интеграла влечет расходимость второго.

10) Вычисление длины дуги кривой:

непрерывно дифференцируемая плоская кривая Γ, заданная уравнениями x=x(t), y=y(x), atb спрямляема, и производная S′(t) переменной длины дуги вычисляется по формуле: S′(t) = sqrt((x′(t))² + (y′(t))²). Т.к. одной из первообразных функции из правой части этого равенства является F(t) = _a ^t (sqrt((x′())² + (y′())²)d то отсюда, поскольку F (a) = 0, следует равенство S(t) = _a ^t (sqrt((x′())² + (y′())²)dt. Поэтому для длины всей кривой имеем формулу l(Г) = = _a ^t (sqrt((x′(t))² + (y′(t))²)dt

7) Предельный признак сравнения для несобственных интегралов 1-го рода:

Пусть f(x) и g(x) положительны при x>=a и интегрируемы на любом отрезке [a, b]. Тогда, если существует предел

То интегралы f(x)dx и g(x)dx сход. или расх. одновременно.

Д-во: В теореме содержатся четыре утверждения. Докажем лишь одно из них: если _a f(x)dx – сходится, то и _ag(x)dx – сходится. Возьмем

ε = K/2 > 0. Тогда при всех x>=∆(ε) выполняется неравенство

Т.к. K − ε = K/2 , то отсюда следует, что при всех указанных x выполняется неравенство K/2 g(x) < f (x). На основании теоремы о признаке сходимости по неравенству для несобств. интегралов 1 рода получаем, что сходится интеграл

а тогда сходится и интеграл _ag(x)dx. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.

8) Признак абсолютной сходимости для несобственных интегралов 1-го рода:

Если _a|f(x)|dx – сходится, то _af(x)dx сходится абсолютно.

Д-во: Здесь, предполагается, что функция f(x) определена при x>=a и интегрируема на отрезке [a, b]. Напишем очевидное неравенство, верное для любого x>= a:

0f(x)+|f(x)|2|f(x)|. Т.к. |f (x)|dx по условию сходится, то сходится и интеграл

2 · |f (x)|dx. Следовательно, по признаку сравнения сходится интеграл (f(x)+|f(x)|)dx. Но тогда сходится и инт.:

9) Формула площади криволин. сектора:

Для вычисления площади криволинейного сектора рассмотрим разбиение: α=φ0 <φ1 <...<φn =β отрезка [α,β]. И предположив, что r(φ) непрерывна на рассматриваемом отрезке (рис. 2), напишем очевидное неравенство 1/2r²(η_i)∆φ_iS_i1/2r²(ξ_i)∆φ_i

в котором S_i − площадь криволинейного сектора, отвечающего изменению φ на отрезке [φ_i−1, φ_i]; r(η_i) и r(ξ_i) − соответственно наименьшее и наибольшее значения функции r(φ) на частичном отрезке разбиении; Суммируя неравенства по i=1,2,...,n получим, что для площади S справедливо неравенство

Переходя к пределу при max_i∆φ_i → 0, получаем требуемую формулу:

S=1/2  r²()d