Воскобойников Ю.Е., Воскобойникова Т.Н. - МУ к лабораторным и контрольным работам - Парный и множественный регрессионный анализ, страница 4

Стандартная ошибка – оценка для среднеквадратического отклонения .

Наблюдения – число наблюдений .

Перейдем к показателям, объединенных названием Дисперсионный анализ (см. рис. 3.3).

Столбец - число степеней свободы. Для строки Регрессия показатель равен числу независимых переменных ; для строки Остаток - равен ; для строки Итого – равен .

Столбец SS – сумма квадратов отклонений. Для строки Регрессия показатель равен величине (см. формулы (1.16)), т.е.

;

для строки Остаток - равен величине (см. формулы (1.16)), т.е.

;

для строки Итого – равен .

Столбец дисперсии, вычисленные по формуле

,

т.е. дисперсия на одну степень свободы.

Столбец – значение , равное критерию Фишера, вычисленного по формуле:

.

Столбец значимость - значение уровня значимости, соответствующее вычисленной величине критерия и равное вероятности , где - случайная величина, подчиняющаяся распределению Фишера с степенями свободы. Эту вероятность можно также определить с помощью функции FРАСП( ). Если вероятность меньше уровня значимости (обычно ), то построенная регрессия является значимой..

Перейдем к следующей группе показателей, объединенных в таблице, показанной на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Продолжение результатов работы режима Регрессия

Столбец Коэффициенты – вычисленные значения коэффициентов , расположенных сверху-вниз.

Столбец Стандартная ошибка – значения , вычисленные по формуле .

Столбец статистика – значения статистик .

Столбец Р – значение – содержит вероятности случайных событий , где случайная величина, подчиняющаяся распределению Стьюдента с степенями свободы.

Если эта вероятность меньше уровня значимости , то принимается гипотеза о значимости соответствующего коэффициента регрессии.

Из рис. 3.4 видно, что значимым коэффициентом является только коэффициент .

Столбцы Нижние 95% и Верхние 95% - соответственно нижние и верхние интервалы для оцениваемых коэффициентов .

Перейдем к следующей группе показателей, объединенных в таблице, показанной на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Продолжение результатов работы режима Регрессия

Столбец Наблюдение – содержит номера наблюдений.

Столбец Предсказанное У – значения , вычисленные по построенному уравнению регрессии.

Столбец Остатки – значения невязок

В заключении рассмотрения результатов работы режима Регрессия приведем график невязок (на рисунке 3.6 невязки названы остатками) при заданных значениях только второй переменной. Наличие чередующихся положительных и отрицательных значений невязок является косвенным признаком отсутствия систематической ошибки (неучтенной независимой переменной) в построенном уравнении регрессии.

Рис. 3.6. График невязок как функция переменной

Тема 4. НЕЛИНЕЙНАЯ МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

Эта тема включает выполнение лабораторной работы, посвященных построению нелинейной множественной регрессии на примере производственная функция Кобба-Дугласа.

Лабораторная работа № 4.1.

Вычисление коэффициентов нелинейной множественной регрессии для производственная функция Кобба-Дугласа

Цель работы. Используя пространственную выборку таблицы 4.1 и команду Поиск решения, построить нелинейную множественную регрессию для производственная функция Кобба-Дугласа.

Таблица 4.2

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

, (4.1)

где объем производства, затраты капитала, затраты труда. Показатели являются коэффициентами частной эластичности производства соответственно по затратам капитала и труда . Это означает, что при увеличении одних только затрат капитала (труда) на 1% объем производства увеличивается на % ( %). При этом имеет место ограничение .

Решение. Нахождение оценок для коэффициентов нелинейной модели (4.1) будем осуществлять из решения следующей задачи условной минимизации:

(4.2)

при ограничении

. (4.3)

Для решения этой задачи используем команду Поиск решения. Первоначально введем в столбцы A,B,C значения (см. рис. 4.1). Затем в ячейках В10, В11, В11 зададим начальные («стартовые») значения искомых коэффициентов: .

Рис. 4.1. Подготовительные вычисления

для решения задачи условной минимизации

После этого в соответствующих ячейках столбца D вычислим значения . В столбце Е запрограммируем вычисления значений , а в ячейке Е10 (выделена цветом) вычислим значения функционала

. (4.4)

После этих подготовительных вычислений для выполнения команды «Поиск решения» необходимо обратиться к пункту основного меню Сервис и в появившемся меню щелкнуть мышью на команде Поиск решения. Затем в появившемся диалоговом окне выполнить следующие действия (см. рис. 4.2):

Рис. 4.2. Задание параметров команды Поиск решения

• в поле ввода Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, в которой вычисляется значение минимизируемого функционала (в нашем примере – Е10);

• включить опцию Минимальное значение (ищутся значения коэффициентов, при которых функционал достигает своего минимального значения);

• в поле ввода Изменяя значения ввести адреса ячеек, в которых находятся значения искомых коэффициентов (в нашем примере это ячейки В10:В12);

• щелкнув мышью на кнопке Добавить формируем ограничения на значения искомых коэффициентов (в нашем примере это условие (4.3)).

После задания параметров щелкаем на кнопке Выполнить и в ячейках В10, В11, В12 выводятся вычисленные значения коэффициентов, а в ячейке Е10 – значение функционала (4.4) при этих значениях коэффициентов (см. рис. 4.3). Видно, что вычисленные значения коэффициентов , удовлетворяют ограничению (4.3)

Таким образом получено следующее уравнение регрессии:

Контрольная работа № 1

Парная регрессия

Данные, характеризующие прибыль торговой компании «Все для себя» за первые 10 месяцев 2005 года (в тыс. руб.), даны в следующей таблице:

Таблица К1

Рис. 3.9. Результаты работы команды Поиск решения

В этой таблице две последних цифры номера зачетной книжки студента.

Требуется:

1. Построить диаграмму рассеяния.

2. Убедится в наличии тенденции (тренда) в заданных значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.

3. Построить линейную парную регрессию (регрессию вида ). Вычисление коэффициентов выполнить методом наименьших квадратов.

4. Нанести график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислить значения статистики и коэффициента детерминации . Проверить гипотезу о значимости линейной регрессии.

6. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении.

7. Вычислить оценку дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

8. Проверить гипотезы о ненулевых значениях коэффициентов .

9. Построить доверительные интервалы для коэффициентов .

10. Построить доверительные интервалы для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

11. Построить доверительную область для условного математического ожидания (диапазон по оси январь – декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния.

12. С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения с границами доверительной области для условного математического ожидания и сделать вывод о точности прогнозирования с помощью построенной регрессионной модели.

Контрольная работа № 2

Множественная линейная регрессия

По статистическим данным (см. таблицу К2), описывающим зависимость производительности труда за год в некоторой отрасли производства (переменная ) от удельного веса рабочих с технической подготовкой (объясняющая переменная ) и удельного веса механизированных работ (объясняющая переменная ), построить модель множественной линейной регрессии и выполнить статистический анализ построенной модели.