Домашнее задание №2. Изгиб бруса. Вариант-13

МГУИЭ

Кафедра сопротивления материалов.

Домашнее задание №2

по сопротивлению материалов.

«Изгиб бруса»

Вариант – 13.

Работу выполнил:

Рузанов Леонид

Группа М-23

Проверил:

Митронов Владимир Ильич

2005 год.

Москва.

Р асчётные схемы к задаче №1. Вариант -13.

Дано:

P = 2ql; m = ql2; l1 = k1l м; l2 = k2l м;

k1 = 0,4; k2 = 0,8;

Задача:

Для заданных расчётных схем балок построить эпюры внутренних силовых факторов Q и M_x в функции q и l (l₁ = k₁l; l₂ = k₂l; P = 2ql; m = ql²)

1 БАЛКА

1. Найдём реакции опор:

Из условия равновесия

=>

=> (1)

=> =>

Подставим полученное значение y_B в уравнение (1):

2 . Метод сечений:

1 сечение)

z₁

0 ≤ z₁ ≤ 0,4l;

Q_y1 = - y_A = -1,525ql;

Q_y1¹ = Q_y1² = -1,525ql;

M_изг1 = ql² – 1,525ql·z₁;

z₁ = 0 => M_изг1¹ = ql²

z₁ = 0,4l => M_изг1² = ql² - 1,525ql·0,4l= 0,39ql².

2 сечение)

0 ≤ z₂ ≤ 0,4l;

Q_y2 = - y_A – 2ql= -1,525ql - 2ql = -3,525ql;

Q_y2¹ = Q_y2² = -3,525ql;

M_изг2 = ql² – 1,525ql·(0,4l + z₂) – 2ql·z₂;

z₂ = 0 => M_изг2¹ = ql² - 1,525ql·0,4l = 0,39ql²;

z₂ = 0,4l => M_изг2² = ql² - 1,525ql·0,8l - 2ql·0,4l = ql²(1- 1,22 - 0,8) = - 1,02ql².

3 сечение)

0 ≤ z₃ ≤ 0,2l;

Q_y3 = - y_A – 2ql + y_B - qz₃= -1,525ql - 2ql + 3,725ql - qz₃ = 0,2ql - qz₃;

z₃ = 0 => Q_y3¹ = 0,2ql;

z₃ = 0,2l => Q_y3² = 0;

M_изг3 = q·l² – 1,525·q·l·(0,8·l + z₃) – 2·q·l·(0,4·l + z₃) + y_B·z₃ - ½·q·z₃²;

z₃ = 0 => M_изг3¹ = ql² - 1,525·q·l·0,8l – 2·q·l·0,4l = - 1,02·q·l²;

z₃ = 0,2·l => M_изг3² = q·l² - 1,525·q·l² - 2·q·l·0,6·l + 3,725·ql·0,2l - ½·q·0,04·l² =

= ql²(1- 1,525 – 1,2 + 0,745- 0,02) = - ql²;

П остроение эпюров внутренних силовых факторов Q и M_x в функции q и l.

2 БАЛКА

1. Найдём реакции опор:

Из условия равновесия

=>

=> (1)

=> =>

Подставим полученное значение y_B в уравнение (1):

2. Метод сечений:

1 сечение)

0 ≤ z₁ ≤ 0,4l;

Q_y1 = - y_A = - 2,04ql;

Q_y1¹ = Q_y1² = - 2,04ql;

M_изг1 = - 2,04ql·z₁;

z₁ = 0 => M_изг1¹ = 0

z ₁ = 0,4l => M_изг1² = - 2,04ql·0,4l = - 0,82ql².

2 сечение)

0 ≤ z₂ ≤ 0,4l;

Q_y2 = - y_A + 2ql – qz₂ = -2,04ql + 2ql - qz₂

z₂ = 0 => Q_y2¹ = -2,04ql + 2ql = - 0,04ql

z₂ = 0,4l => Q_y2² = -2,04ql + 2ql – 0,4ql = -0,44ql;

M_изг2 = - 2,04ql(0,4l + z₂) + 2ql·z₂ - ½qz₂²;

z₂ = 0 => M_изг2¹ = - 2,04ql·0,4l = - 0,82ql²;

z₂ = 0,4l =>M_изг2² =-2,04ql·0,8l +2ql·0,4l -½q·0,16l ²=ql²(-1,63 +0,8 -0,08)=-0,91ql².

3 сечение)

0 ≤ z₃ ≤ 0,2l;

Q_y3 = - 2,04ql + 2ql -0,4ql;

Q_y3¹ = Q_y3² = - 2,04ql + 2ql -0,4ql = -0,44ql;

M_изг3 = - 2,04ql(0,8l + z₃) + P(0,4l + z₃) - 0,4ql(0,2l + z₃) + ql²;

z₃ = 0 => M_изг3¹ = - 2,04ql·0,8l + 2ql·0,4l - 0,4ql·0,2l + ql² = 0,09ql²;

z₃ = 0,2·l => M_изг3² = - 2,04ql² + 1,2ql² - 0,16ql² + ql²=0;

Построение эпюров внутренних силовых факторов Q и M_x в функции q и l.

3 БАЛКА

1. Найдём реакции опор:

Из условия равновесия

=>

=> (1)

=> =>

Подставим полученное значение y_B в уравнение (1):

2 . Метод сечений:

1 сечение)

0 ≤ z₁ ≤ 0,4l;

Q_y1 = - y_A + qz₁

z₁ = 0 => Q_y1¹ = -0,12ql

z₁ = 0,4l => Q_y1² = -0,12ql + 0,4ql = 0,28ql;

M_изг1 = - y_A·z₁ + q·z₁·½·z₁;

z₁ = 0 => M_изг1¹ = 0

z₁ = 0,4l => M_изг1² = - 0,12ql·0,4l+0,4ql·0,2l=0,03ql².

M_min1-? при z₁=? Q_y1 = - y_A + qz₁ = 0 => . Подставим полученное значение z₁ и найдём M_min1:

M _min1 = - 0,12ql·0,12l + q·0,12l·0,06l=0,0072ql² - 0,0144ql² = -0,0072ql²

2 сечение)

0 ≤ z₂ ≤ 0,4l;

Q_y2 = - 0,12ql + 0,4ql - 2ql= - 1,72ql;

Q_y2¹ = Q_y2² = -1,72ql;

M_изг2 =- y_A·(l₁ + z₂) + 0,4ql·(½·l₁ + z₂) - Pz₂ = - y_A·(0,4l + z₂) + 0,4ql·(0,2l+ z₂) – 2qlz₂

z₂ = 0 => M_изг2¹ = - 0,12ql·0,4l + 0,08ql² = 0,03ql²;

z₂ = 0,4l =>M_изг2² = - 0,12ql·0,8l + 0,24ql² - 0,8ql² = -0,66ql².

3 сечение)

0 ≤ z₃ ≤ 0,2l;

Q_y3 = - 0,12ql + 0,4ql - 2ql = - 1,72ql;

Q_y3¹ = Q_y3² = -1,72ql;

M_изг3 = - y_A·(0,8l + z₃) + 0,4ql·(0,6l + z₃) - 2ql·(0,4l + z₃) + ql²=

= - 0,12ql·(0,8l + z₃) + 0,4ql·(0,6l + z₃) - 2ql·(0,4l + z₃) + ql²;

z₃ = 0 => M_изг3¹ = - 0,12ql·0,8l + 0,4ql·0,6l - 2ql·0,4l + ql² = 0,34ql²;

z₃ = 0,2·l => M_изг3² = - 0,12ql² + 0,32ql² – 1,2ql² + ql²=0;

Построение эпюров внутренних силовых факторов Q и M_x в функции q и l.

Q_y

0,ql

-0,12

-1,72

-0,66

0,ql²

0,34

0,28

-1,72

-0,0072

0,12l

M_изг

0,03

-1,72

Расчётная схема к задаче №2. Вариант -13.

Дано:

P = 2ql; m = 3ql2; l1 = k1l м; l2 = k2l м;

k1 = 0,4; k2 = 0,8;

Задача:

Для заданной расчётной схемы рамы построить эпюры внутренних силовых факторов Q_y, N_z и M_x в функции q и l (l₁ = k₁l; l₂ = k₂l; P = 2ql; m = 3ql²)

=>

=> (1)

=> =>

Определение внутренних силовых факторов N_z.

Р ассмотрим 1 сечение:

N_z1 = 0.

Рассмотрим 2 сечение:

N_z2 = 1,5ql – ql = 0,5ql

Рассмотрим 3 сечение:

N_z3 = - 2ql

Рассмотрим 4 сечение:

N_z4 = 2qlcos 45˚ - 0,5qlcos 45˚ = 1,06ql

Рассмотрим 5 сечение:

N_z5 = N_z4 = 2qlcos 45˚ - 0,5qlcos 45˚ = 1,06ql

Определение внутренних силовых факторов Q_y и M_x.

Рассмотрим 1 сечение:

0 ≤ z₁ ≤ l

Q_y1 = 1,5ql – qz₁.

z₁ = 0 => Q_y1¹= 1,5ql

z₁ = l => Q_y1²= 1,5ql – ql = 0,5ql

M_изг1 = 1,5ql·z₁ – ½qz₁²

z₁ = 0 => M_изг1¹ = 0

z₁ = l => M_изг1² = 1,5ql² – ½ql² = ql²

Рассмотрим 2 сечение:

0 ≤ z₂ ≤ 0,8l

Q_y2 = 0

Q_y2¹= Q_y1²= 0

M_изг2 = 1,5ql² – ½ql²

M_изг2¹ = M_изг2² = ql²

Рассмотрим 3 сечение:

0 ≤ z₃ ≤ l

Q_y3 = ql – 1,5ql

Q_y3¹ = Q_y3² = – 1,5ql

M_изг3 = 1,5ql·( l – z₃ ) - ql·(½l – z₃ )

z₃ = 0 => M_изг3¹ = 1,5ql² - ½ql = ql²

z₃ = l => M_изг3² = 0,5ql²

Рассмотрим 4 сечение:

0 ≤ z₄ ≤

Q_y4 = 0,5ql cos 45˚ +2ql cos 45˚

Q_y4¹ = Q_y4² = 2,5ql cos 45˚= 1,77ql

M_изг4=3ql²-2ql· -0,5ql·

z₄ = 0 => M_изг4¹ = 0,5ql²

z₄ = 0,57l => M_изг4² = 1,5ql²

Рассмотрим 5 сечение:

0 ≤ z₅ ≤

Q_y5 = 0,5ql cos 45˚ +2ql cos 45˚

Q_y5¹ = Q_y5² = 2,5ql cos 45˚= 1,77ql

M_изг5 = - 2ql· - 0,5ql·

z₅ = 0,85l => M_изг5¹ = -1,5ql²

z₅ = 0 => M_изг5² = 0ql²

Построение эпюров внутренних силовых факторов Q_y, N_z и M_x

Расчётная схема к задаче №3. Вариант -13.

Дано:

P = 0,4ql; m = 0,36ql2; l1 = k1l м; l2 = k2l м; Ix=7780 см4; ωx=518 см3; t=1,1 см; h=300 мм;

k1 = 0,5; k2 = 0,7; d=0,7 см; b=14,5 см; l=4,4 м; z=1,8 м; y=4,3 см.

Задача:

Для балки заданного двутаврового поперечного сечения требуется:

1. Построить эпюры внутренних силовых факторов Q_y и M_x.

2. Определить из условия прочности допускаемую нагрузку q, приняв допускаемое напряжение [δ]=140 МПа.

3. В сечении с координатой z построить эпюры напряжений δ_z, t_zy, t_zx.

4. В точке с координатами z и у требуется:

а) определить аналитически и графически с помощью круга напряжений Мора главные напряжения δ_max и δ_min и положение главных площадок, полученные результаты сравнить.

б) Вычислить относительные деформации ε_max, ε_min и γ_max.

1. => (1)

Из (3) =>

Из (1) =>

Из (2) =>

0 ≤ z₁ ≤ 0,3l;

Q_y1=q z₁ - y_A = 0 => z₁=0,05l

M_изг1 = - y_A· z₁ + ½·q· z₁² - M_A;

z₁ = 0 => M_изг1¹ = - 0,03 ql²;

z₁ = 0,3l => M_изг1² = 0 ql².

0 ≤ z₂ ≤ 0,2l;

M_изг2 = - y_A·(0,3l + z₂) + 0,3ql·(0,15l + z₂) - ½·q· z₂² - M_A;

z₂ = 0 => M_изг1¹ = 0 ql²;

z₂ = 0,2l => M_изг1² = 0,03 ql².

0 ≤ z₂ ≤ 0,2l;

M_изг2 = - y_A·(0,3l + z₂) + 0,3ql·(0,15l + z₂) - ½·q· z₂² - M_A;

z₂ = 0 => M_изг2¹ = 0 ql²;

z₂ = 0,2l => M_изг2² = 0,03 ql².

0 ≤ z₃ ≤ 0,5l;

M_изг3= 0,36ql - 0,4ql·z₃ - ½·q· z₃² ;

z₃= 0 => M_изг3¹ = 0,36 ql²;

z₃= 0,5 => M_изг3² = 0,03 ql².

2. Рассмотрим сечение при z = 0,41l :

3. Из условия прочности при изгибе:

4. Определение нормального напряжения:

у = 0 =>

у = h/2 =>

5. Определение касательных напряжений:

При

При

Найдём :

Определение напряжения с координатой у = 4,3см:

Построим круг Мора:

Нахождение главной точки круга:

1.Из точки К₁ проводим нормаль к площадке К₁

2.Из точки К₂ проводим нормаль к площадке К₂

3.Получаем главную точку круга.

Определение , , , :

;

;

19