Анализ однофазной однолинейной системы обслуживания типа M/M/1.

Пример 1. В систему поступают требования по закону Пуассона с интенсивностью . Обслуживание требований происходит по экспоненциальному закону с интенсивностью . Смоделировать функционирование системы по обслуживанию 500 требований. Осуществить табуляцию параметра М1 — времени пребывания в модели транзакта, обрабатываемого программой в данный момент (М1— стандартный числовой атрибут). Проанализировать статистику по устройству, очереди, данные по табулируемой величине (среднее, дисперсию). Сравнить результаты моделирования математического ожидания и дисперсии табулируемой величины с аналитическими расчетами тех же величин.

Решение примера 1 приводится как программа 1.

На рис.1 и в табл.1 представлена функция экспоненциального распределения отрезков времени t как случайной величины.

Р
ис.1. Функция экспоненциального распределения случайных отрезков времени

Формат записи оператора FUNCTION:

exp1 FUNCTION RN1,C45

В поле метки оператора описания FUNCTION записывается имя функции (в программе это exp1). В поле <A> оператора FUNCTION задается аргумент функции. В программе в качестве аргумента задано случайное число, которое генерируется RN1 в интервале (0, 1) по равномерному закону. С помощью случайного числа производится линейная интерполяция, когда значение аргумента попадает между точками значений координат функции, заданных табличным способом. В поле <B> задается тип функции (в программе С — непрерывная числовая функция) с количеством пар точек табличных значений моделируемой функции (в программе это число равно 45). В данной версии GPSS количество пар точек функции не должно превышать 50 значений. Каждое последующее значение аргумента пары точек (X[i]) должно быть больше предыдущего. Это следует из того, что функция распределения вероятностей является монотонно возрастающей, лежащей в интервале [0, 1]. За оператором описания функции следуют операторы (числовые) задания координат моделируемой функции. Эти операторы попарно разделяются прямым слешом / и значения каждой пары точек разделяются запятыми.

Формат записи блока GENERATE в функциональном режиме:

10 GENERATE 10,FN$exp1

В поле <A> задается среднее значение интервала времени, через которое генерируется транзакт в систему. Величина 10 определяется как обратная величина заданной интенсивности =0.1. В поле <B> задается имя функции (exp1), которая связывается со служебным атрибутом FN (через знак $).

Описанный формат вытекает из способа формирования случайных чисел, распределенных по экспоненциальному закону:

(1)

где — искомые интервалы времени, — интенсивность входящего потока требований, — случайное число, распределенное равномерно из интервала (0, 1], индекс

Формат записи блока ADVANCE в функциональном режиме:

50 ADVANCE 5,FN$exp1

В поле <A> задается среднее значение интервала времени, которое затрачивается на обслуживание одного требования. Величина 5 определяется как обратная величина заданной интенсивности обслуживания =0.2. В поле <B> задается имя функции (exp1), которая связывается со служебным атрибутом FN (через знак $). Описанный формат также вытекает из способа формирования случайных чисел, распределенных по экспоненциальному закону в соответствии с (1), где только вместо задается — интенсивность обслуживания.

Задание к примеру 1.

1) Исследовать приведенную программу при одном, двух и трех прогонах. Сравнить результаты моделирования по файлу стандартного отчета.

2) Из приведенной таблицы отобрать значения функции распределения в количестве 10, 25, 35 пар точек. Сравнить результаты моделирования.

3) Произвести описание экспоненциального распределения, заданного в виде таблицы в случае интенвиности =0.1, а не =1. Сравнить результаты моделирования, когда в поле <A> блока GENERATE будет задана функция с не единичной интенсивностью. Поле <B> при этом пусто.

4) В программе изменить счетчик числа завершений: 1000, 2000 (т.е. в операторе START).

5) Изменить отношение : 0.2, 0.7, 0.9. Произвести моделирование по приведенной программе со значениями и , полученные из заданного отношения. При возникновении очереди определить по формуле Литтла среднее значение транзактов, находящихся в системе.

6) Вычислить аналитически среднее значение времени пребывания в системе транзакта и дисперсию среднего значения времени пребывания.

7) По данным файла стандартного отчета построить гистограмму распределения заданного стандартного числового атрибута М1 при различных значениях поля <B> оператора TABLE: 2, 5, 7.

Пример 2. В систему поступают требования в соответствии с табличными данными, приведенными в табл.2. Обслуживание требований происходит по равномерному закону в интервале 12 2 мин. Смоделировать функционирование системы по обслуживанию 500 требований. Осуществить табуляцию параметра QT — времени пребывания транзакта в очереди (QT— стандартный числовой атрибут). Проанализировать статистику по устройству, очереди, данные по табулируемой величине (среднее, дисперсию).

Рассматриваемый пример приводится для пояснения функционирования оператора FUNCTION в режиме задания дискретной числовой функции.

В соответствии с данными таблицы 1 на рис.2 при водится график зависимости функции Р от аргумента t. Программное решение примера 2 приводится как программа 2.

Рис.2. Дискретная функциональная зависимость

Комментарии к программе 2.

Формат записи оператора FUNCTION для дискретной числовой функции: