MS_glavy_123 (Учебное пособие), страница 6

При целочисленном = k выражение (2.2) упрощается, посколь­ку Г( ) = ( - 1)!. В этом случае гамма-распределение вырождается в распределение Эрланга k-гo порядка. Такое распределение имеет сумма k независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону с математическим ожида­нием /k.

При практических расчетах обычно используется экспоненци­альный закон распределения времени обслуживания с плотностью распределения

(2.3)

где — интенсивность обслуживания — величина, обратная средней длительности обслуживания и характеризующая количест­во заявок, которое может быть обслужено в единицу времени. При­менение экспоненциального распределения целесообразно по следующим причинам:

упрощаются аналитические соотношения;

получаемые оценки являются предельными;

как следствие отсутствия последействия, интервал времени от любого случайного момента времени до момента окончания обслу­живания заявки также имеет экспоненциальное распределение с тем же средним. Иначе говоря, процессы обслуживания и дообслуживания протекают одинаково.

Одной из важнейших характеристик качества функционирова­ния ИВС является ее загрузка . Смысл величины , как это следует из очевидного соотношения , сле­дующий: это среднее число заявок, поступивших в систему за сред­нее время обслуживания одной заявки. Наряду с этим величина загрузки характеризует долю времени, в течение которого обслу­живающий прибор занят обслуживанием, а также вероятность того, что в произвольный момент времени обслуживающий прибор ра­ботает, а не простаивает.

2.1.4. Агрегат как универсальная математическая схема для описания систем

Рассмотренные математические схемы позволяют дать форма­лизованное описание системы и в ряде случаев получить аналити­ческие решения. Однако эти схемы не дают представления о струк­туре имитационного алгоритма, что необходимо, если такой способ выбран в качестве метода исследования. Эта структура становится очевидной при использовании такой общей универсальной математической схемы, как агрегат. Одно из первых описаний агрегата можно найти в монографии Н.П. Бусленко [1].

Для задания агрегата вводят следующие множества: Т— фик­сированное подмножество множества действительных чисел; X, Г, Y, Z — множества любой природы. Элементы указанных множеств определяются так: — момент времени; — входной, — управляющий, — выходной сигналы; — состоя­ние. Впоследствии состояния, входные, выходные и управляющие сигналы будут рассматриваться как функции времени; их значения в момент t будут обозначаться z(t), x(t), y(t), g(t) соответственно.

Под агрегатом понимается абстрактный объект, определяе­мый множествами Т, X, Г, Y, Z и операторами (вообще говоря, слу­чайными) переходов V и выходов W, реализующими функции z(t) и y(t) соответственно. Агрегат характеризуется также пространством параметров агрегата П, элементы которого имеют вид .

Рассмотрим реализацию оператора выходов W. Этот оператор строится следующим образом.

В пространстве состояний агрегата Z для каждого значения и можно выделить некоторую область , вид которой зависит от g и . Если траектория системы z (f) попадает в эту область, то надлежит выдать выходной сигнал. Множество в общем случае изменяется при изменении параметров аг­регата и в моменты поступления новых управляющих сигналов g(t). В интервалах времени между моментами поступления управ­ляющих сигналов множество не изменяется и остается та­ким, каким оно оказалось в момент поступления последнего управ­ляющего сигнала.

Множество определяет вид и моменты выдачи выход­ных сигналов.

Формально это можно записать следующим образом. Если при , где — интервал времени дос­таточно малой длительности, но , то момент t является моментом выдачи выходного сигнала

(2.4)

В общем случае оператор W" является случайным оператором. Это значит, что данным t, z(t), g(t) и ставится в соответствие не одно определенное значение у, а некоторое множество Y с распре­делением вероятностей, задаваемых оператором W". Оператор «следит» за попаданием траектории агрегата в область и определяет очередной момент достижения процессом z(t) подмно­жества . Этот момент является моментом выдачи выходного сигнала.

Итак, оператор W' вырабатывает очередные моменты выдачи выходных сигналов, а оператор W" формирует содержание этих сигналов.

Обратимся теперь к оператору переходов V. Наряду с непрерыв­ным изменением состояния агрегата z(t) будем рассматривать так­же «скачкообразные» изменения его состояния. Такие переходы имеют место, когда агрегат выдает выходной сигнал или принима­ет входной сигнал, или получает управляющий сигнал. Состояния, в которые переходит агрегат в этих случаях, называют «особыми» состояниями и обозначают как z(t + 0), указывая таким образом, что это то состояние, в которое агрегат переходит за бесконечно малый интервал времени, т.е. скачком. Так работают, например, дискретные электронные элементы.

Вид оператора V зависит от следующих факторов: а) поступили или нет в течение рассматриваемого интервала времени управ­ляющие и входные сигналы; б) был ли выдан выходной сигнал. Поэтому представим его в виде совокупности случайных операто­ров V*, V', V" и U.

Пусть t' — момент поступления в агрегат входного сигнала х'. Тогда агрегат, находившийся в этот момент в состоянии z(t'), пере­ходит в состояние

(2.5)

Здесь под g понимается последний управляющий сигнал, посту­пивший в момент t < .

Если t"— момент поступления в агрегат управляющего сигнала , то

(2.6)

Если t — момент одновременного поступления в агрегат и входного х, и управляющего g сигналов, то

(2.7)

В этом выражении под понимается не оператор, а результат его действия на аргументы t, z(t), g, .Другими слова­ми, вместо (2.7) можно записать

где определяется соотношением (2.6) для t, z(t), g, .

Если оператор W' обнаружил, что в момент t* есть условия для выдачи выходного сигнала у, то, выдав этот сигнал, агрегат перей­дет в особое состояние

(2.8)

Здесь под g понимается последний управляющий сигнал, посту­пивший в момент t<t*.

Если полуинтервал не содержит моментов поступления входных и управляющих сигналов или выдачи выходных сигна­лов, а — момент следующего «особого» состояния, тс для имеет место непрерывное изменение: состояния агрегата

(2.9)

причем — последний управляющий сигнал, поступивший в момент t < . Заметим, что обозначение указывает на то, что вид оператора U зависит от того, каким было последнее особое состояние.

Рассмотренная математическая схема позволяет описывать широкий класс систем, поскольку в ней предусмотрено:

наличие разных типов внешних сигналов (не только информа­ционных х, но и управляющих g), что позволяет имитировать из­менение алгоритма работы исследуемой системы;

непрерывное изменение состояний системы z(t),

«скачкообразное» изменение состояний системы z(t + 0);

вероятностный характер реакции системы на внешние сигналы.

С помощью соотношений (2.5)-(2.9) можно описать процесс функционирования агрегата (см. подробнее, например, [1, 11]), a затем построить алгоритм, имитирующий этот процесс.

2.2. Структура имитационного алгоритма моделирования агрегата

Анализ приведенных соотношений позволяет установить сле­дующие основные блоки алгоритма:

формирователи случайных сигналов, состояний и моментов их появления и изменения;

анализатор очередности сигналов и типа очередного сигнала;

анализаторы типа состояния в заданные моменты времени;

анализаторы точности оценок критериев интерпретации резуль­татов моделирования и вспомогательные блоки, управляющие хо­дом моделирования.

Для операторов алгоритма введем следующие обозначения:

А — арифметический оператор (совокупность операций, реали­зующих какое-нибудь соотношение или систему соотношений меж­ду величинами). После его выполнения процесс вычислений может быть продолжен по единственному пути независимо от результа­тов, выдаваемых оператором;

Р — логический оператор (проверка справедливости заданных условий и выработка признаков, обозначающих результат провер­ки). Направление продолжения процесса вычислений зависит от результатов вычислений, а именно от значения признака, выраба­тываемого данным логическим оператором;

Ф — оператор формирования реализаций случайных процессов;

F— оператор формирования неслучайных величин; главным образом это операторы, повторяющие или в каком-то смысле ими­тирующие работу вычислительных или управляющих средств ре­ального оборудования;

К - оператор счета.