MS_glavy_123 (Учебное пособие), страница 13

, k=0,1,...,

где P{х =k} — вероятность того, что случайная величина х примет значение, равное k. Если задан параметр , то значения вероятно­стей легко вычисляются и могут считаться известными. Таким образом, задача сводится к моделированию по жребию в соответствии с соотношением (3.8):

(3.9)

То значение j, при котором выполняется неравенство (3.9), вы­дается в качестве значения случайной величины х в данном испы­тании. Аналогичная схема получения случайных чисел может при­меняться и для формирования других дискретных распределений (например, геометрического и биномиального).

В ряде случаев целочисленная случайная величина характеризу­ет заданный процесс случайных испытаний и поэтому может ими­тироваться путем прямого воспроизведения и анализа этого про­цесса. Так, подсчитывая число N(A) событий А, имевших место при N-кратном использовании соотношения (3.7), получим реализацию величины с биномиальным распределением.

Моделирование непрерывных распределений. Известны три пути формирования последовательности случайных величин с про­извольным заданным законом распределения:

1) прямое осуществление над числом R[0, 1] — реализацией случайной величины, равномерно распределенной на [0, 1] — некоторой операции, формирующей число y, которое может рассматриваться как реализация случайной величины Y:

2) отсеивание чисел из первоначальной случайной последовательности так, чтобы оставшиеся числа составляли последовательность с заданным распределением;

3) моделирование условий соответствующей предельной теоремы теории вероятностей.

Рассмотрим наиболее употребительные случаи, иллюстрирую­щие перечисленные методы.

Моделирование непрерывных случайных величин по методу обратной функции. Предположим, что случайная величина Y задана непрерывной функцией распределения F(y). Докажем следующее утверждение: если взять на оси ординат случайное число (от 0 до 1) и найти то значение , при котором F( )= , то полученная случайная величина будет иметь функцию распределения F(y).

Рис. 18

Найдем функцию распределения случайной величины , т.е. ве­роятность P( <y). Из рис.18 видно, что для выполнения неравен­ства < у* величина , должна принять значение, меньшее чем F(y*), т.е. Р( <у*) = P[ < F(y*)]. Но случайное значение имеет постоянную плотность распределения F(R) =1 на отрезке (0, 1).

Значит,

(3.10)

Обозначим , тогда соотношение (3.10) можно записать в виде

, (3.11)

откуда следует, что для получения числа, принадлежащего сово­купности случайных чисел { } с заданной плотностью распределе­ния , необходимо разрешить относительно уравнение (3.11),
где — число, принадлежащее совокупности, равномерно распре­деленной в интервале [0,1].

Характерный пример применения этого метода — показательное распределение .

Моделирование непрерывных случайных величин по методу исключения. Метод заключается в том, что из равномерно рас­пределенной совокупности случайных чисел отбираются те, которые подчиняются заданному закону распределения.

Пусть требуется получить последовательность значений { } случайной величины Y, распределенной по закону с плотностью (рис.19). Пусть имеются две последовательности равномерно распределенных чисел — в [а, b], — в [0, ], где =max .

Рис.19

Рассмотрим последовательность случайных чисел , отбираемых из по условию .Найдем вероятность того, что случайная величина принимает значения в диапазоне [c,d).

.

Для нахождения условной вероятности воспользуемся общей формулой Р(АВ) = Р(А)Р(В/А), откуда

Р(В/А)= Р(АВ)/Р(А),

что дает основание записать:

.

Вероятность того, что точка окажется под кривой на интервале [с, d] и не будет отброшена,

так как она определяется числом точек, попавших в соответствую­щие области, или площадями областей.

Вероятность того, что точка окажется под кривой и не будет от­брошена,

,

откуда

Таким образом, для получения реализации с плотностью : а) имитируется реализация { } вектора, равномерно распре­деленного в области , ограниченной осью у и мажорирующей кривой ; б) выполняется сравнение . Если не­равенство выполнено, то { }является реализацией вектора, равномерно распределенного в области G, и, следовательно, есть искомая реализация. В противном случае этапы а), б) повто­ряются.

Эффективность метода характеризуется коэффициентом исполь­зования — отношением среднего числа полученных реализаций к числу затраченных:

=G/

В рассмотренном случае

где — среднее значение кривой на участке [а, b]. Следова­тельно, простейшая мажорирующая функция оказывается неэффек­тивной для плотностей с резко выраженными максимумами.

Моделирование условий предельных теорем. В некоторых случаях при выборе метода моделирования следует учитывать фундаментальные результаты теории вероятностей. Так, моделируя нормально распределенные случайные величины, используют цен­тральную предельную теорему, согласно которой при сложении достаточно большого числа независимых случайных величин, независимых сравнимых по своим дисперсиям, получается случайная величина, распределенная приближенно по нормальному закону, причем этот и тем ближе к нормальному, чем больше случайных величин складывается.

Рассмотрим соответствующие преобразования.

Возьмем n случайных чисел равномерно распреде­ленных в интервале (0,1). Математическое ожидание их суммы

a дисперсия суммы

Для получения последовательности нормально распределенных случайных величин { } с заданными параметрами М[у] и [у] представим случайную величину в виде суммы:

(3.12)

где — нормально распределенная случайная величина с парамет­рами M[z] = 0 и [z] = 1.

Согласно теореме имеем

.

Отсюда

Подставив значение z в (3.12), получим

(3.13)

Практика показывает, что достаточная точность может быть получена при 5 <n< 15.

Моделирование векторных случайных величин. Под n-мерной векторной случайной величиной Y понимают систему кор­релированных случайных: величин , заданных совмест­ной плотностью распределения или совместной функци­ей распределения

= .

Пусть наибольшее значение плотности распределения max =m, а области распределения составляющих заданы неравенствами

, i=1,...,n

Формируем — случайные равномерно распреде­ленные в интервале (0, 1) числа. Переходим к интервалу ( ): для первых n чисел, а число приведем к интервалу (0, m) : .

Вычислим величину плотности распределения при найденных значениях , и проверим условие . Если это ус­ловие выполняется, то значения принимаются в качест­ве составляющих случайного вектора Y = ( ).

Математическое ожидание числа испытаний равно произведению

В пространстве с числом измерений более двух практически доступным оказывается получение реализаций составляющих слу­чайного вектора в том случае, когда случайный вектор задается в рамках корреляционной теории. В качестве примера рассмотрим случайный вектор с математическими ожиданиями и корреляционной матрицей

здесь .

Пусть в нашем распоряжении находится последовательность { } некоррелированных случайных чисел с математическим ожи­данием, равным а, и дисперсией .

Реализации , составляющих случайного вектора удобно определить в виде

т.е. как линейное преобразование случайных величин . Коэффициенты преобразования можно найти из уравнений вида:

, .

Например, коэффициент определяется из уравнения , коэффициенты, и — из уравнений

,

и т.д. При таком формировании реализаций случайного вектора на ЭВМ требуется хранить в запоминающем устройстве n(n + 1)/2 корреляционных моментов и n математических ожиданий.

Более полные сведения о моделировании случайных воздейст­вий можно найти, например, в работе [17].

3.4. Проверка и отладка программ имитационных моделей

Проверку и отладку имитационных программ можно предста­вить в виде последовательности следующих действий:

1) проверка соответствия блок-схемы программы логической блок-схеме модели;