Лекция № 12 (Лекции МП), страница 2

Примечание: В зарубежной литературе вместо скважности используется обратная величина, называемая коэффициентом заполнения (duty cycle) и равная τ /T.

При такой форме записи становится хорошо видно, чему равно значение постоянного слагаемого ряда: поскольку при x → 0 Sin(x)/x →1, то

Теперь можно записать и само представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону Sin(x)/x.

График функции Sin(x)/x имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси – в номерах гармоник и в частотах.

На рисунке градуировка оси соответствует номерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помощью размерных линий.

Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при k = ng имеем Sin (πk/g) = 0, если n ≠ 0). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности.

Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов - 2π/T. Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2π/τ, т.е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Это проявление общего закона – чем короче сигнал, тем шире его спектр.

Вывод: для любого сигнала известны его разложения в ряд Фурье. Зная τ и T можем посчитать сколько гармоник нужно, чтобы передать мощность.

Методы анализа линейных систем с постоянными коэффициентами.

Задача в постановке:

Имеется линейная система (не зависит от амплитуды сигнала):

Необходимо записать дифференциальное уравнение для этой системы.

Это типичная задача электротехники. Имеется мощный способ решения данной задачи во временной области.

В общем виде:

Порядок уравнения зависит от числа реактивных элементов.

Может быть записано в виде системы уравнений первой степени.

Пример:

Схема состоит из резистора и конденсатора (интегрирующая цепь). На вход подали сигнал X(t). Определить Y вых.

U_R = IR

U_C =

I = C

U_R + U_C = X(t)

RC + U_C = X(t)

U_C – является Y выхода, поэтому: RC + U_ВЫХ. = X(t)

Дальнейшее решение сводится к решению сначала однородного уравнения, а затем неоднородного.

Это решение немного упрощается при переводе из временной плоскости в другую плоскость комплексной переменной. Перевод из временной плоскости в комплексную плоскость производится прямым преобразованием Лапласа.

RCY' + Y = X(t)

Вычисляется разностное уравнение.

Прямое преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию S(p) комплексного переменного (изображение) с функцией s(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразования Лапласа играют очень важную роль при исследовании систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями. С помощью прямого преобразования Лапласа можно перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, решить их в алгебраической форме, а затем с помощью обратного преобразования получить искомый результат. Аналогичный результат достигается при решении линейных разностных уравнений при использовании аппарата  Z - преобразования.

Прямое преобразование Лапласа осуществляется по формуле: , где - комплексная переменная , где σ - затухание.

Пример:

Возьмем функцию в виде единичного сигнала: временная область: δ(t) частотная область: 1

Импульсная переходная характеристика:

Реакция системы на поданную на вход дельта-функцию называется импульсной характеристикой системы.

Реакция системы на поданную на вход функцию единичного скачка называется переходной характеристикой.

Производная по времени какой-то функции - есть умножение этой функции на p:

А интеграл по времени какой-то функции - есть деление этой функции на p:

В соответствии с этим, выражение: RCY' + Y = X(t) запишется так: RCPY + Y = X(p)

Разрешая относительно Y, получим: Y (RCP + 1)= X(p)

Коэффициент передачи этого уравнения:

В плоскости комплексного переменного, это:

Здесь XP – взяли в качестве тестовой единичной функции. Значит это импульсная характеристика в P –области.

В числителе нет переменных. Корни числителя называются нулями функции передачи.

В точках нулей функция передачи равна нулю, а в точках полюсов функция передачи стремится к бесконечности.

Комплексная частота в плоскости комплексного переменного – это самый простой способ проверки устойчивости системы. Система называется устойчивой, если при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях. Линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы её функции передачи лежат в левой комплексной полуплоскости.

Преобразование Фурье.

Преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из временной области в частотную.

Преобразование Фурье дает основание для получения частотной и фазовой характеристик (хотим получить огибающую спектра). Преобразование Фурье – это частный случай преобразования Лапласа при σ = 0.

Например:

Получим частотную и фазовую характеристики для рассмотренной выше простой цепочки, у которой коэффициент передачи:

Преобразование Фурье отличается от преобразования Лапласа тем, что у него: p = jω, поэтому наше выражение примет следующий вид:

Частотная характеристика – это зависимость модуля коэффициента передачи от частоты.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на комплексное число (1-jωRC) (предполагая, что значение дроби от этого не изменится):

Отсюда, модуль коэффициента передачи определяется выражением:

При нуле - модуль коэффициента передачи равен единице, а с увеличением частоты он начинает падать:

При двух значениях ФЧХ будет иметь вид:

Таким образом, для анализа какой-либо системы необходимо построить все характеристики.

Дискретное преобразование Лапласа.

Все рассмотренное ранее - относилось к непрерывным функциям. Если в непрерывную функцию вместо t подставить kT и вместо интеграла подставить сумму, то будет преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций. Решётчатая функция – это функция, значения которой определены только в дискретные моменты времени kT, где k - целое число, а T- период дискретизации.
Дискретное преобразование Лапласа даёт возможность записать коэффициент передачи. Различают D-преобразование и Z-преобразование.

D – преобразование:

Z – преобразование:

Z-преобразование трансформирует полуплоскость в некоторую другую плоскость Z. Z-преобразование - это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

Умножение на Z⁻¹ – это сдвиг на один период дискретизации.

Возьмем исходное выражение, с которого мы начинали:

Отсюда вычислительная процедура рисуется следующим образом:

Согласно свойствам z-преобразования, задержка дискретной последовательности на один такт соответствует умножению ее z-преобразования на z −1. Поэтому элементы памяти, осуществляющие такую задержку, обозначены на структурной схеме как «z −1».

Количество используемых предыдущих отсчетов называется порядком фильтра.

Некоторое количество предыдущих отсчетов входного сигнала хранится в ячейках памяти, которые образуют дискретную линию задержки. Эти отсчеты умножаются на коэффициенты bk и суммируются, формируя выходной отсчет y(n).

Так как при вычислениях не используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме отсутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называются нерекурсивными. При подаче на вход единичного импульса, он будет перемещаться по линии задержки, умножаться на коэффициенты b₀, b₁, b₂ … и проходить на выход устройства (ведь все остальные входные сигналы сумматора при этом равны нулю). Очевидно, что в реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Это обусловило еще одно название таких фильтров – фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Структурная схема программного обеспечения для КИХ- фильтра: