Лекция № 12 (Лекции МП)
Описание файла
Файл "Лекция № 12" внутри архива находится в папке "Лекции МП". Документ из архива "Лекции МП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "микропроцессоры" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "микропроцессоры" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Лекция № 12"
Текст из документа "Лекция № 12"
ЛЕКЦИЯ № 12.
Цифровые фильтры.
По виду импульсной характеристики цифровые фильтры делятся на два больших класса:
-
Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтры, трансверсальные фильтры, нерекурсивные фильтры). Знаменатель передаточной функции таких фильтров - некая константа.
КИХ - фильтры характеризуются выражением:
-
Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры, рекурсивные фильтры) используют один или более своих выходов в качестве входа, то есть образуют обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид.
БИХ - фильтры характеризуются выражением:
Отличие КИХ – фильтров от БИХ – фильтров заключается в том, что у КИХ – фильтров выходная реакция зависит от входных сигналов, а у БИХ – фильтров выходная реакция зависит от текущего значения.
Импульсная характеристика – это реакция схемы на единичный сигнал.
Единичный сигнал определяется следующим образом:
Таким образом, единичный сигнал только в одной точке равен единице – в точке начала координат.
Задержанный единичный сигнал определяется следующим образом:
Таким образом, задержанный единичный сигнал задерживает на k периодов дискретизации.
Сигналы и спектры.
Дуальность (двойственность) представления сигналов.
Все сигналы можно представить во временной или частотной плоскости.
Причем, частотных плоскостей – несколько.
| Временная плоскость. | Преобразования. | Частотная плоскость. |
| Для просмотра сигнала во временной плоскости существует прибор: Представим, что здесь есть достаточно длинный синусоидальный сигнал (в 1 сек. 1000 раз повторилась синусоида):
Возьмем сигнал с частотой, в два раза больше:
Сложим эти сигналы. Получим не синусоиду, а искаженный сигнал:
| Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость производятся с помощью преобразований Фурье. | Для просмотра сигнала в частотной плоскости существует прибор: Частота циклическая или круговая ( Частотная плоскость покажет засечку:
Величина засечки пропорциональна амплитуде синусоиды, а частота: f1 = Для второго сигнала частотная область покажет другую засечку:
Во временной области суммарного сигнала появится 2 засечки:
|
Оба представления сигнала равноценны и пользуются либо первым, либо другим представлением, в зависимости от того, какой удобней.
Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость может производиться различными путями. Например: с помощью преобразований Лапласа или с помощью преобразований Фурье.
Три формы записи рядов Фурье.
Существует три формы записи рядов Фурье:
-
Синус - косинусная форма.
-
Вещественная форма.
-
Комплексная форма.
1.) В синус - косинусной форме ряд Фурье имеет вид:
Входящие в формулу кратные частоты kω1 называются гармониками; гармоники нумеруются в соответствии с индексом k; частота ωk = kω1называется k-й гармоникой сигнала.
Это выражение говорит о следующем: что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы гармоник, где:
, где
T – период повторений этой функции;
ω - круговая частота.
, где
t – текущее время;
T – период.
При разложении по Фурье самое главное – это периодичность. За счет неё происходит дискретизация по частоте, начинается некоторое количество гармоник.
Для того, чтобы установить возможность тригонометрического разложения для заданной периодичной функции, нужно исходить из определенного набора коэффициентов. Прием для их определения придумал во второй половине XVIII века Эйлер и независимо от него в начале XIX века - Фурье.
Три формулы Эйлера для определения коэффициентов:
; 
; 
Формулы Эйлера не нуждаются ни в каких доказательствах. Эти формулы точные при бесконечном количестве гармоник. Ряд Фурье – усеченный ряд, т.к. нет бесконечного количества гармоник. Коэффициент усеченного ряда вычисляется по тем же формулам, что и для полного ряда. В этом случае, средняя квадратичная ошибка – минимальна.
Мощность гармоник падает с увеличением их номера. Если добавить/отбросить некоторые гармонические составляющие, то перерасчет остальных членов (других гармоник) не требуется.
Практически все функции являются четными или нечетными:
| Чётная функция. | Нечётная функция. |
| Характеризуется уравнением: Например, функция Cos: у которой: t = −t Четная функция симметрична относительно оси ординат. Если функция четная, то все синусные коэффициенты bk будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. | Характеризуется уравнением: Например, функция Sin: Нечетная функция симметрична относительно центра. Если функция нечетная, то все косинусные коэффициенты ak будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только синусные слагаемые. |
2.) Вещественная форма записи ряда Фурье.
Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (т.е. для каждой гармоники с частотой kω1) в формуле фигурирует два слагаемых – синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:
, где
; 
Если S(t) является четной функцией, фазы φ могут принимать только значения 0 и π, а если S(t) - функция нечетная, то возможные значения для фазы φ равны + π/2.
| | Если bk = 0, тогда tg φ = 0 и угол φ = 0 Если ak = 0, тогда tg φ – бесконечен и угол φ = В этой формуле может быть и минус (смотря какое направление взято). |
3.) Комплексная форма записи ряда Фурье.
Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера ejθ = Cosθ + jSinθ):
Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:
А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое a0/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:
Формула расчета коэффициентов Ck ряда Фурье:
Если S(t) является четной функцией, коэффициенты ряда Ck будут чисто вещественными, а если S(t) - функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми.
Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз – фазовым спектром.
Спектром амплитуд является действительная часть коэффициентов Ck ряда Фурье:
Re (Ck) – спектр амплитуд.
Спектр прямоугольных сигналов.
Рассмотрим сигнал в виде последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой A, длительностью τ и периодом повторения T. Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса.
Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые ak, равные:
Из формулы видно, что длительность импульсов и период их следования входят в нее не обособлено, а исключительно в виде отношения. Этот параметр – отношение периода к длительности импульсов – называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой: g: g =T/τ. Введем этот параметр в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду Sin(x)/x:
