КвКр(Лекции) (Квантовая криптогафия), страница 4

Тогда, на этой части последовательности, вероятность совпадения бит у Алисы и Боба будет равна:

P( /несовп. баз)= P( , _i=1)+ P( , _i=2)= (P(_i=1)+P(_i=2)).

По формуле полной вероятности

P(_i=1)= .

Ясно, что

P(_i=1/ =0°, =0°)=1, P(_i=1/ =90°, =0°)=0,

P(_i=1/ =45°, =45°)=1, P(_i=1/ =135°, =45°)=0,

а во всех остальных случаях

P(_i=1/ , )=1/2.

Тогда

P(_i=1)= = .

из соображений симметрии также можно показать, что

P(_i=2)= .

Следовательно,

P( /несовп. баз)= .

Вероятность ошибки в полной битовой строке Алисы и Боба составит величину

P( )=1-P( )=1-( P( /совп. баз)+ P( /несовп. баз))= ,

т.к. P( /совп. баз)=1.

Аналогично можно показать, что

P( )=

и в том случае, когда Ева производит измерения только в прямоугольном или только в диагональном базисе.

б) Атака с использованием промежуточного базиса.

Здесь мы предполагаем, что при измерениях Ева устанавливает на некоторый постоянный угол  оптическую ось своей двоякопреломляющей призмы и принимает следующие решения относительно значений битовой строки Алисы:

• =0, если регистрация наблюдения происходит в прямом луче,

• =1, если регистрация наблюдения происходит в ортогональном луче, -оценка неизвестного бита Алисы .

Как было сказано выше, нулевой (единичный) бит ключа кодируется либо одним состоянием поляризации либо другим в зависимости от выбранного базиса. Поэтому, если. например, Ева принимает решение о том, что был послан нулевой бит ключа ( =0), то у нее есть две возможности для кодирования и пересылке к Бобу: 0⁰ или 45⁰ (90⁰ или 135⁰ для единичного бита).

Мы будем полагать, что Ева всегда принимаемый нулевой бит ключа кодирует состоянием 0⁰, а единичный бит - состоянием 90⁰. Можно показать, что никакие рандомизированные процедуры, состоящие в случайном выборе состояний поляризации для пересылки к Бобу не улучшают стратегию подслушивания.

Наблюдения Евы состоят из двух исходов:

• "" – регистрация фотона в прямом луче , тогда =0,

• "" – регистрация фотона в ортогональном луче, тогда =1.

Нетрудно показать, что условные распределения вероятностей имеют следующий вид:

,

.

Отсюда легко видеть, что условная вероятность правильной классификации

= = .

Далее, вероятность совпадения бит у Алисы и Боба равна

= .

= .

+

+ =

= .

+

+ .

Следовательно,

= ( + )= .

Аналогично можно показать, что

= .

Таким образом, вероятность совпадения бит у Алисы и Боба равна

=

и вероятность ошибки

.

Минимальное значение вероятности ошибки достигается при значении ₀=22.5⁰ и равно

.

Литература

1. Bohm D., Quantum Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1951.

2. Wiesner S., "Conjugate coding", Sigact News, vol. 15, №1, 1983. pp. 76-88., оригинальная рукопись, написанная примерно в 1970 г.

3. Bennett C.H., Brassard G., Breidbard S., Wiesner S., "Quantum cryptography, or unforgeable subway tokens", Advances in Cryptology: Proceedings of Crypto 82, August 1982, Plenium Press, pp. 267-275.

4. Bennett C.H., Brassard G., "Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing", Proceedings of the Internetional Conference on Computers? Systems and signal Processing, Bangalore, India, December 1984, pp. 175-179.

5. Bennett C.H., Bessette F., Brassard G., Salvail L., Smolin J., "Experimental quantum cryptography", Journal of Cryptology, vol. 5, 1992, pp.3-28.

6. Bennett C.H., Brassard G., Ekert A.K., "Quantum cryptography", Scientific American, October 1992, pp. 50-57.

7. Gottlieb A. "Conjugal secrets – The untappable quantum telephone", The Economist, vol. 311, 22 April 1989, p. 81.

8. Wallich P., "Quantum cryptography", Scientific American, May 1989, pp. 50-57.

9. Wooters W.K., Zurek W.H., "A single quantum cannot be cloned", Nature, vol. 299, 1982, pp. 802-803.

10. C. Marand, P.D. Townsend, Quantum Key Distribution over Distance as long as 30 km., Optic Letters, v. 20, № 16, pp. 1695-1697, 1995.

11. К. Хелстром, Квантовая теория проверки гипотез и оценивания, М.: Мир, 1979.

15