Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:

Расчет современной стоимости постоянной p-срочной ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m раз в год (p=m).

Рассмотрим расчет современной величины ренты для различных ее видов:

• годовая рента с начислением процентов несколько раз в год:

  ;

• срочная рента при начислении процентов один раз в год:

  ;

• срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т.е. p ≠ m :

.

1. Определение размера очередного платежа постоянной финансовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО (p=m=1).

Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами:

R – размер платежа;

n – срок ренты в годах;

i – годовая ставка процентов.

Однако при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий параметр.

При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:

а) наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:

Пример. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.

Решение:

В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:

Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4'568 руб.

б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:

Пример. Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга.

Решение:

Известна современная величина долга, отсюда:

Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2'504,56 руб.

Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять:

FV = 10'000 • (1 + 0,08)⁵ = 14'693,28 руб.

Наращенная сумма для потока платежей размером 2'504,56 руб. составит:

Следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно. Незначительное расхождение вызвано округлением расчетов.

Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путем умножения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения.

1. Определение срока ссуды постоянной финансовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО (p=m=1).

2. Расчет наращенной суммы постоянной годовой ренты ПРЕНУМЕРАНДО при начислении процентов один раз в год.

Расчет наращенной суммы постоянной годовой ренты ПРЕНУМЕРАНДО при начислении процентов один раз в год

1. Расчет современной стоимости для p-срочной вечной ренты при начислении процентов m раз в год (m=p).

2. Стоимость облигации: с фиксированной купонной ставкой, с нулевым купоном.

3. Стоимость обыкновенной акции. Модель Гордона.

4. Метод расчета чистого приведенного дохода.

5. Метод расчета индекса доходности.

6. Метод расчета нормы рентабельности инвестиций.

7. Анализ эффективности инвестиционных проектов в условиях инфляции.

Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает собственника денег периодически варьировать процентной ставкой. В таких случаях наращенную сумму определяют, используя следующую формулу:

FV = PV • (1 + n₁ • i₁ + n₂ • i₂ + … + n_k • i_k),

где k – количество периодов начисления;

n_k – продолжительность k-го периода;

i_k – ставка процентов в k-ом периоде.

Инфляция – это экономическое явление, которое возникает вследствие целого комплекса как политических, так и социально-экономических событий. Уровень инфляции выступает обобщающим показателем финансово-экономического положения страны. Инфляция – устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Инфляция – многомерное и многоаспектное явление, которое можно классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением инфляции является повышение общего уровня цен, т.е. совокупный рост цен на товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную единицу приходится меньше товаров, т.е. деньги обесцениваются.

Если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.

Темпы инфляции определяются с помощью индекса – относительного показателя, характеризующего среднее изменения уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за данный период времени.

Индекс инфляции показывает во сколько раз выросли цены (J_τ), а уровень инфляции показывает, насколько процентов возросли цены (τ), т.е. по своей сути это соответственно темп роста и темп прироста:

J_τ = 1 + τ

Для оценки уровня инфляции используется система индексов цен.

Индекс потребительских цен (ИПЦ) – это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI – Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.

Индекс потребительских цен дает достаточно обобщенную характеристику инфляции, так как потребление является завершающим этапом в создании валового продукта, и здесь находят свое отражение все предыдущие стадии производства.

Расчет ИПЦ в России осуществляется за каждый месяц и нарастающим итогом с начала года (к декабрю прошлого года).

Отечественные исследователи часто расценивают уровень инфляции как темп прироста потребительских цен:

τ = ИПЦ - 100 (%)

В зависимости от уровня инфляции в год выделяют:

• нормальную (ползучую) – от 3% до 10%;

• галопирующую – от 10% до 100%;

• гиперинфляцию – свыше 50% в месяц.

Еще одним важным показателем международной статистики, оценивающим инфляцию, является дефлятор валового внутреннего продукта, который характеризует изменение стоимостного объема ВВП за счет его ценностного фактора. Дефлятор ВВП также дает обобщенную характеристику инфляции, поскольку характеризует движение цен на потребительском рынке, а также на рынке инвестиционных товаров и услуг.

Для характеристики инфляции могут применяться и другие показатели: размер эмиссий, сокращение товарных запасов и т.п.

Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Графически это представлено на рис. 9.

Рис. 9. Факторы изменения стоимости денег

Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Таким образом, формула для исчисления наращенной суммы с учетом влияния инфляции, принимает следующий вид:

FV = PV(1 + i)ⁿ / (1 + τ) ⁿ

Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.

Поскольку ставка доходности ( i ) является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а показатель инфляции ( τ ) является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы.

Пример. Пусть ежемесячный уровень инфляции 2,5%. Определить ожидаемый уровень инфляции за квартал.

Решение:

Индекс инфляции за месяц

J_τ = 1 + τ = 1 + 0,025 = 1,025

Индекс инфляции за квартал, т.е. за три месяца

J_τ = (1 + τ)³ = 1,025³ = 1,077

Уровень инфляции за квартал

τ = J_τ - 1 = 1,077 - 1 = 0,077

Следовательно, ожидаемый квартальный уровень инфляции составит 7,7%.

Показатели финансовой операции могут быть представлены, как:

• номинальные, т.е. рассчитанные в текущих ценах;

• реальные, т.е. учитывающие влияние инфляции, и рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода.

Пример. Определить реальные результаты вкладной операции для суммы 5'000 руб., размещенной на полгода под 8% годовых, если ежемесячный уровень инфляции составляет 2%.

Решение:

Наращенная сумма вклада

FV = PV(1 + ni) = 5'000 (1 + 0,5 • 0,08) = 5'200,00 руб.

Индекс инфляции за срок хранения вклада составит

J_τ = (1 + 0,02)⁶ = 1,126

Реальная сумма вклада

FV_τ = 5'200 / 1,126 = 4'618,11 руб.

Следовательно, наращенная величина по своей покупательной способности с учетом инфляции будет соответствовать сумме 4'618,11 руб., т.е. меньше первоначальной суммы.

Методы учета инфляции в финансовых расчетах

Владельцы денег не могут мириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности.

Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, поскольку:

• если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (τ = i), то реального роста денежных сумм не будет, т.к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;

• если уровень инфляции выше уровня процентной ставки (τ > i),то происходит "проедание" капитала, и реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;

• если уровень инфляции ниже процентной ставки (τ < i), то это будет соответствовать росту реальной денежной суммы.

В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента, т.е. ставки с поправкой на инфляцию ( i_τ ).

Общая формула для определения простой ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:

i_τ = [(1 + n i) • J_τ - 1] : n

где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка);