ШПОРЫ Финансовая математика, страница 2

где P₁ – первоначальная сумма долга;

P₂ – сумма, получаемая при учете обязательства;

n₁ – общий срок платежного обязательства;

n₂ – срок от момента учета до погашения.

1. Расчет суммы, выплачиваемой при учете обязательств с начислением простых процентов.

Когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление простых процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке: P₂ = P₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ),

где P₁ – первоначальная сумма долга;

P₂ – сумма, получаемая при учете обязательства;

n₁ – общий срок платежного обязательства;

n₂ – срок от момента учета до погашения.

Пример:

Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисленными по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d=15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете.

Решение:

Р2 = 2(1+100/365*0,2)(1-40/360*0,15)=2,074 млн. руб

При наращивании использовалась временная база 365 дней, а при дисконтировании – 360.

1. Расчет удвоения суммы для простых и сложных процентов.

В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз пр иданной процентной ставке. Ответ можно получить, приравняв множитель наращения величине N:

а) для простых процентов (1+ni_пр.) = N, откуда n = (N-1) / i_пр.

б) для сложных процентов (1+i_сл.)ⁿ = N, откуда n = ln N/ ln(1+i_сл.)

Особенно часто используется N=2, тогда эти формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

а) для простых процентов n = 1 / i_пр,

б) для сложных процентов n = ln2 / ln(1+i_сл.)

Если учесть , что ln2=0,7, а ln(1+i_сл.)=i, то n=0,7/i

Важно учесть следующее:

1. Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.

2. При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

Пример: Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов 3%. Результаты сравнить.

Решение:

а) при простых процентах: n = 1/iпр = 1/0,03 = 33 1/3 года;

б) при сложных процентах и точной формуле:

n = ln2/ln(1+i_сл.) = 0.693147/ln(1+0.03) = 0.693147/0.0295588 = 23.45 года;

в) при сложных процентах и приближенной формуле:

n = 0.7/i = 0.7/0.03 = 23.33 года

1. Расчет начисления сложных процентов при дробном числе лет.

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет. В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

• общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

S = P • (1 + i)ⁿ,

n = a + b,

где n – период сделки;

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

• смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

S = P • (1 + i)^a • (1 + bi).

Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)^a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

• в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е. S = P • (1 + i)^a

Пример. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.

Решение:

а) Общий метод:

S = P • (1 + i)ⁿ = 250 • (1 + 0,095)^2,9 = 320,87 тыс. долларов.

б) Смешанный метод:

S = P • (1 + i)^a • (1 + bi) =

= 250 • (1 + 0,095)² • (1 + 270/360 • 0,095) =

= 321,11 тыс. долларов.

Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят

I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. долларов,

а по смешанному методу

I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов.

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.

1. Расчет наращения сложных процентов по номинальной ставке.

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (j).

Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка

• во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;

• во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит N = n • m

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

S = P • (1 + j / m)^N = P • (1 + j /m)^mn ,

где j – номинальная годовая ставка процентов.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами:

а) по формуле сложных процентов S = P • (1 + j / m)^N/r

где N/r - число периодов начисления (возможно, дробное)

б) по смешанной формуле S = P • (1 + j / m)^a *(1+bj / m)

Пример: Сумма в размере 2000 дол. дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату, введя ежеквартальное начисление процентов.

Решение:

Количество периодов начисления:

N = m • n = 4 • 2 = 8

Наращенная сумма составит:

S = P • (1 + j / m)^mn = 2'000 • (1 + 0,1 / 4 )⁸ = 2'436,81 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = S - P = 2'436,81 - 2'000 = 436,81 руб.

Таким образом, через два года на счете будет находиться сумма в размере 2'436,81 руб., из которой 2'000 руб. является первоначальной суммой, размещенной на счете, а 436,81 руб. – сумма начисленных процентов.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

• проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

• срок ссуды более года.

1. Дисконтирование: по сложной годовой процентной ставке, по сложной годовой учетной ставке.

Сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i)

P, P(1 + i), P(1 + i)², P(1 + i)³, …, P(1 + i)ⁿ,

где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле

,

где (1 + i)ⁿ – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

Более широко распространено математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем

,

где 1/(1 + i)ⁿ – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид

,

где j – номинальная сложная процентная ставка; 1/ – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

Для дисконтирования при сложной процентной ставке - при начислении процентов один раз в году - используется формула:

А при начислении процентов m раз в году формула:

.

При учете вексель выполняет две функции: коммерческого кредита и средства платежа.

Абсолютная величина дисконта определяется как разность между номиналом векселя и его современной стоимостью на момент проведения операции. При этом дисконтирование осуществляется по учетной ставке d, устанавливаемой банком: где

t - число дней до погашения;

d – учетная ставка банка;

P - сумма, уплаченная владельцу при учете векселя;

N - номинал;

Современная стоимость PV (ценные обязательства Р) при учете векселя по формуле:

Суть данного метода заключается в том, что проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При этом применяется учетная ставка d.

При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения называют антисипативной ставкой процентов[2]. Учетная ставка d иногда применяется и

для наращивания по простым процентам. Необходимость в таком наращивании

возникает при определении будущей суммы контракта, например, общей суммы

векселя. Формула определения будущей величины в этом случае имеет вид:

Пример 1:

Простой вексель на сумму 100 000 с оплатой через 90 дней учитывается в

банке за 60 дней до погашения. Учетная ставка банка 15 %. Определить

величину дисконта в пользу банка и сумму, полученную владельцем векселя.

Disc = (100000 * 60 * 0.15) / 360 = 2500;

Соответственно, владелец векселя получит величину PV:

PV=100000 – 2500 = 97500;

Предположим, что в рассматриваемом примере владелец векселя решил

учесть вексель немедленно после получения, тогда: