6 (Конспект лекций), страница 4

Таким образом, полученный полином адекватно характеризует искомую зависимость. Этот полином можно перевести в физиче­ские (натуральные) значения факторов в/ц и п/ц : Rо=172

Важное место в теории планирования эксперимента занимают вопросы оптимизации исследуемых процессов или свойств многоком­понентных систем. Качество процесса обычно характеризуется не­сколькими функциями отклика. Как правило, нельзя найти такое сочетание значений влияющих факторов, при котором одновременно достигается экстремум всех функций отклика. Например, макси­мальная производительность экскаватора и минимальная стоимость копания грунта достигается при различных режимах работы экска­ватора. Критерием оптимальности может быть лишь одна из функций отклика, характеризующих процесс. Оптимизацию процессов обычно осуществляют в условиях огра­ничений на влияющие факторы и исследуемые функции отклика, поскольку как факторы, так и функции могут изменяться только в определенных границах. Покажем, как можно использовать результаты полного фактор­ного эксперимента для оптимизации процесса методом крутого вос­хождения или наискорейшего спуска. Допустим, что в некоторой окрестности точки гi с координатами Z1 и Z2 исследуемая функция отклика, характеризующая процесс, описывается полиномом у=a0+ а1x1 а2x2 а12х1x2. Один из факторов, выраженный в физических величинах, прини­мают за базовый, например, х1. Вычисляют для него произведение a1 z1 где а1— коэффициент регрессии; z1— интервал варьирова­ния первого фактора. Далее для базового фактора выбирают шаг движения z01, с которым планируется оптимизация. Обычно z1> > z1. После этого определяют

Затем вычисляют шаги движения к оптимуму для всех остальных факторов, в данном случае

К оптимуму движутся из центра плана. На каждом новом шаге добавляют z0i к соответствующим предыдущим значениям факто­ров Zi. Так, осуществляют оптимизацию методом крутого восхожде­ния. Если же ищут минимум функции у, то новые значения факторов находят из предыдущих путем вычитания z0i., выполняя наиско­рейший спуск. Движение к оптимуму прекращают, если достигнут оптимум фун­кции критерия оптимальности у (в пределах ограничений, нало­женных на внешние факторы и функции отклика). Затем в области экстремума функции ищут ее новое математическое описание в виде полинома.

Пример. Необходимо оптимизировать кинетику химического процесса, в ко­тором выход реакции y1, % зависит от температуры реакционной смеси (°С) и концентрации реагента (%). В результате полного факторного эксперимента по­лучено адекватное уравнение регрессии y1 = 45,0 + 1.95x1 — 1,35x2.

Основные характеристики плана эксперимента приведены в табл. 4.25. Ограничения на влияющие факторы имеют вид 30е=<z1120°; 10%=<z2=<70%. Будем оптимизировать выход продук­ции методом крутого восхождения. В качестве базового фактора примем z1, шаг движения на крутом восхождении z01= 4°, тогда

v = z01/a1z1 = 4/1.95*5= 0,41; z02=va2z2 = 0,41(—1,35) • 1 = 0 • 55°.

Принимаем шаг по концентрации z02= 0,5°. Результаты опытов, выполненных методом крутого восхождения, приведены в табл. 4.26.

Таблица 4.26

Как видно из табл. 4.25, в опыте 9 достигнут максимальный вы­ход продукта реакции. Далее для окрестности точки Z1= 66°, z2 = 23% определяют новый линейный полином регрессии, который более точно характеризует поверхность отклика в окрестностях оптимума. Наряду с описанным методом, часто оптимизируют процессы методом Гауса - Зейделя, методом симплексов и др. По методу Гауса—Зейделя оптимум исследуемого процесса ищут поочередным варьированием каждого фактера. При этом достигают оптимума по одному фактору, затем при его фиксированном значении находят оптимум по другим переменным. Симплексом называют правильную фигуру, имеющую л + 1 вершину, где п — число факторов, влияющих на процесс. Если п = 2, то имеет место правильный треугольник. Показано, что в сим­плексе можно отбросить одну вершину и построить новый симплекс, используя новую вершину, построенную симметрично отброшенной. Если последовательно отбрасывать вершину с самим плохим зна­чением выходной переменной, то центр симплекса будет переме­щаться к оптимуму. В ряде случаев полученные полиномы исследуют на экстремум. Допустим, необходимо исследовать полином, описывающий зависимость прочности бетона от В/Ц и П/Ц : у = 172 — 127x1— 26x2+ 54x1 2+ 19x1x2. Обычно определяют тип поверхности по критерию

В случае 6 > 0 функция описывает эллиптический параболлоид если a11>0, то имеется минимум, если a11< 0 - имеется максимум' Когда 6 < 0, приведенный выше полином описывает поверхность типа «седло». При а11=а22=а12=О имеет место плоскость. В дан­ном случае полином регрессии описывает поверхность типа «седло» Определим характерную точку седлования, в которой по одной переменной наблюдается максимум, по другой - минимум. Для этого продифференцируем указанное уравнение по переменным X1,

систему уравнений, получаем x1=26/19=1,37; x2=—21/19—1,1 Таким образом, характерная точка седловины находится за пре­делами варьирования факторов. Чтобы установить ее достоверность необходимо поставить дополнительные опыты так. чтобы данная точка попала в пределы варьирования влияющих факторов В этих пределах исследуемая поверхность отклика представляет собой по­верхность, на которой функция у возрастает с убыванием Х1 и x2 Выше были рассмотрены основные и наиболее простые принципы и методы математического планирования эксперимента. Наряду с этим широко распространено рентабельное, симплекс-решетчатое планирование и др. На основе указанных методов формируется математическая теория эксперимента. Бурное развитие этой области в последнее время также обусловлено широким применением ЭВМ которые намного уменьшают трудоемкость вычислительной работы. Желающим изучить более детально методы математического планирования следует обратиться к специальной литературе