RT003KL (Лекции)

Лекция 3

Лекция 3

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.

Спектральный анализ непериодических сигналов – это описание и исследование свойств непериодических сигналов в частотной области. Спектральный анализ непериодических сигналов проводится на основе интегральных преобразований Фурье.

Прямое преобразование Фурье:

где - величина комплексная.

Прямое преобразование Фурье дает переход от временной модели сигнала к частотной модели [ ].

Обратное преобразование Фурье:

Обратное преобразование Фурье восстанавливает сигнал по его частотной модели [ ].

Эта пара преобразований Фурье устанавливает взаимно-однозначное соответствие между двумя моделями сигнала – временной и частотной моделями:

Функция - это “спектральная плотность” или “спектральная функция” или просто спектр непериодического сигнала s(t). Так как непрерывная функция частоты, то спектр непериодического сигнала является непрерывным спектром (в отличие от дискретного спектра периодических сигналов).

в общем случае является комплексной функцией и может быть представлена в показательной форме:

Различают амплитудный и фазовый спектры непериодического сигнала.

Амплитудный спектр – это частотное распределение модуля спектральной плотности:

Фазовый спектр – это частотное распределение фаз (аргументов) спектральной плотности:

Амплитудный спектр – это четная функция частоты, т.е. . Фазовый спектр – это нечетная функция частоты, т.е. .

Пример спектральной диаграммы:

А мплитудный спектр

Ф азовый спектр

Физический смысл спектральной плотности

В формулу подставим выражение , получим

Перепишем выражение:

т.к. четная, а нечетная функция, то выражение

будет равно нулю. Поэтому в результате останется:

где,

- четная функция. Это значит, что данную функцию можно переписать в два интеграла:

Таким образом, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что сигнал s(t) представлен в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами

так как дифференциал – это обозначение бесконечно малой величины.

Бесконечно большое число гармонических составляющих непрерывно заполняют интервал частот от нуля до бесконечности.

Начальные фазы этих составляющих: .

Поэтому

например

Спектральная плотность описывает распределения бесконечно малых амплитуд по частоте.

- распределение начальных фаз гармонических составляющих сигнала по частоте.

Условие существования преобразования Фурье

В математике доказано, что преобразование Фурье существует, если функция s(t) удовлетворяет условию Дирекля и условию абсолютной интегрируемости:

Энергия сигнала:

, т.е.

энергия должна быть ограниченна. В реальности все сигналы ограниченны, т.е. имеют конечную энергию.

-------------------------------------

Пример 1. Вычисление спектра непериодического сигнала (импульса).

На графике показан одиночный импульс, т.к. s(-t) = s(t), т.е. четная функция. Данная функция имеет два параметра:

V - амплитуда импульса

- длительность импульса

Импульс описывается следующим образом:

Вычисляем спектральную плотность по формуле:

у добнее записать:

ф ункция примечательна тем, что у нее такой график:

sinc(0) = 1; sinc(nπ) = 0;

Тогда можно записать, что спектральная плотность

это знакопеременная действительная функция.

И зобразим спектральную плотность импульса на графике:

Как видно из графика, спектральная плотность импульса – это четная функция, имеющая лепестковую структуру.

И зобразим амплитудный и фазовый спектры на графике:

Амплитудный спектр можно определить из выражения

Как видно из графика, амплитудный спектр – это четная функция, имеющая лепестковую структуру. Ширина лепестка равна . Чем шире импульс, тем уже спектр.

График фазового спектра можно объяснить следующим образом. Поскольку спектральная плотность является знакопеременной функцией, а изменение знаков функции равносильно изменению фазы на , то фазовый спектр описывается так:

-------------------------------------

Пример 2. Вычисление спектра экспоненциального импульса.

Импульс описывается формулой:

Вычислим спектральную плотность:

Эта функция комплексная, определим амплитудный и частотный спектр:

Построим графики этих спектров:

- площадь экспоненты

-------------------------------------

Энергетический спектр непериодического сигнала

если вместо s(t) подставить интеграл , получим

Это выражение может быть переписано в два интеграла:

это равенство называют равенством Порсена, где

- энергетический спектр.

График энергетического спектра у прямоугольного импульса будет такой:

Г рафик энергетического спектра у экспоненциального импульса будет такой:

Реально физическими частотами являются только положительные частоты. Отрицательные частоты – это чисто математическое понятие (математический прием) который используется для того, что бы действительную функцию времени в комплексном виде. Например:

Поэтому при изображении спектров можно изображать только положительные частоты.

Ширина спектра непериодического сигнала

Теоретически, спектр S(ω) определен на всей оси частот, т.е.:

Практически, спектр S(ω) определен на положительной оси частот:

Поэтому вводят понятие практической ширины спектра. Есть несколько критериев для определения практической ширины спектра:

I) Практическая ширина спектра определяется как интервал частот, в котором значение амплитуды превышают некоторый заданный уровень. Например:

ω_гр – это верхняя частота, при которой модуль амплитуды спектра уменьшается в 10 раз по сравнению с максимальной:

I I) Практическая ширина спектра определяется как интервал частот в пределах которого сосредоточена большая (например 90%) часть энергии.

Д ля прямоугольного импульса как показывают расчеты 90% энергии сосредоточено в первом лепестке.

Поэтому,

Произведение ширины спектра и длительности импульса в данном случае равно единице.

База непериодического сигнала

База сигнала – это один из важнейших параметров сигнала:

Произведение ширины спектра на длительность сигнала – это постоянная величина. В зависимости от величины B все сигналы делят на две группы:

1. Если база сигнала близка к единице, то такие сигналы называют простейшими.

2. Если база сигнала значительно больше единицы, то такие сигналы называют сложными.

Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра

- const, отсюда

,

т.е. частота спектра сигнала изменяется обратно-пропорционально его длительности. Это значит, что чем протяженнее сигнала во времени, тем уже его спектр и наоборот, чем короче сигнал, тем шире его спектр.

Соотношение между спектром одиночного импульса и периодической последовательности импульсов.

-значение спектральной плотности одиночного импульса на частоте , где nω₁ – частоты гармоник. Эти функции практически используются для определения спектров периодических сигналов. Последовательность действий при определении спектра периодического сигнала по спектру одиночного импульса:

1. Определить спектральную плотность центрального одиночного импульса.

2. Записывается формула амплитудного спектра, подставляем в эту формулу вместо частоты ω частоту nω₁ и по формуле вычисляется амплитудный спектр периодической последовательности импульсов.

3. В формулу фазового спектра одиночного импульса вместо текушей частоты ω подставляем текущую частоту nω₁ и по формуле фазовый спектр периодической последовательности импульсов.

ВЫВОД: Непрерывный амплитудный спектр одиночного импульса является огибающей дискретного амплитудного спектра периодической последовательности импульсов. Непрерывный фазовый спектр одиночного импульса является огибающей дискретного фазового спектра периодической последовательности импульсов.

Продемонстрируем все вышесказанное на примере. В качестве сигнала возьмем импульсы:

, найдем амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов , n=1,2,3…

; , , ,

Форма фазового спектра:

12