RT002KL (1083772)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 2

Лекция 2

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛА.

Для описания одного и того же сигнала в зависимости от решаемых задач могут быть использованы различные математические представления:

• Временное представление

• Спектральное (частотное) представление

Временное представление – это описание сигнала с помощью функций времени. Оно определяет свойство и параметры сигнала во временной области (форму, длительность сигнала, энергию, мощность).

Однако при практическом применении сигналов важно знать их свойства не только во временной, но и в частотной области. В этом случае при анализе и расчетах сигналы представляются своими частотными характеристиками, что облегчает решение многих практических задач обработки сигнала. Обычно, частотные характеристики называют частотными спектрами или просто спектрами сигнала. Принято и другое название – спектральные характеристики.

Спектральные характеристики сигналов изучают на специальных приборах – анализаторах спектра, например, С4-27.

Определение спектра сигнала составляет задачу спектрального анализа. В основе спектрального анализа лежит разложение сигнала на спектральные составляющие. Математические методы спектрального анализа различаются для периодических и непериодических сигналов.

Спектральный анализ периодических сигналов.

Периодическим называется сигнал, значение которого повторяется через определенные интервалы времени, которые называют периодом сигнала и обычно обозначают буквой Т (см. Л.1).

Простейшие периодические сигналы основаны на функциях косинуса или синуса.

, где ω – круговая частота,

Одно из простейших гармонических колебаний – это сумма колебаний синуса и косинуса. В данном случае частота одинакова для обоих слагаемых.

Начало координат в данном случае может располагаться произвольно.

Сложим колебания:

На рисунке показан результат сложения двух сигналов: f₁ = 600Гц, f₂ = 1000Гц,

Сдвиг между фазами φ = 45°, одно деление (клеточка) = 1мс.

Фурье в 20гг 19 века доказал, что любой периодический сигнал можно представить в виде разложения на гармонические (составляющие) колебания.

где Т – период.

Если сигнал описывается четной функцией времени (s(t) = s(-t)), то тогда все коэффициенты b_n равны нулю и можно записать, что:

Если сигнал s(t) описывается нечетной функцией времени (s(t) = - s(t)), то тогда все коэффициенты a_n равны нулю и можно записать, что:

В общем случае, когда сигнал произвольный, используют другую, более удобную, форму записи ряда Фурье:

Формулы для нахождения a_n и b_n остаются такие же:

Это представление называют спектральным или частотным представлением сигнала. Спектральное представление сигнала представляет собой постоянную составляющую (А₀/2) и бесконечное число гармонических составляющих (гармонических сигналов). Число n определяет порядковый номер гармоники. Каждая гармоника характеризуется амплитудой A_n, частотой nω₁ и начальной фазой φ_n∙n = 1 – это первая (основная) гармоника. Она имеет частоту, равную частоте сигнала.

Совокупность всех амплитуд гармоник A_n определяет амплитудный спектр сигнала, а совокупность всех начальных фаз называется фазовым спектром сигнала.

Графическое изображение спектра называется спектральной диаграммой. Пример спектральной диаграммы:

Пример фазовой диаграммы:

Графический спектр состоит из отдельных линий и поэтому он называется линейным. Расстояния между гармониками равны основной частоте (чаще бывает так, что какая-либо гармоника равна нулю и кажется, что расстояние между гармониками разное). На самом деле это не так и гармонику равную нулю тоже необходимо считать (см. пример ниже). Спектр периодического сигнала называют так же дискретным, поскольку гармоники определены на дискретных частотах ω₁, 2ω₁, 3ω₁…

-------------------------------------

Пример 1

Определить спектр сигнала указанного на графике и построить его спектральную диаграмму.

Определяем коэффициенты ряда Фурье, учитывая, что сигнал нечетный:

В данном случае s(t) = V, тогда:

Определяем допустимые значения s(t):

После интегрирования получим:

Теперь записываем ряд Фурье:

П окажем полученный результат на спектральной диаграмме:

Построим график:

-------------------------------------

Ширина спектра

Теоретически, ряд Фурье содержит бесконечное количество слагаемых, поэтому теоретически ширина спектра бесконечна. Поэтому, для таких сигналов вводится понятие практической ширины спектра. Если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широка, что бы пропустить все гармоники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Ширина полосы пропускания устройства не должна быть уже ширины спектра сигнала.

Существует несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала:

1. Можно отбрасывать все гармоники с амплитудами меньшими 1% максимальной амплитуды в спектре. Тогда, частота гармоник и определит ширину спектра сигнала (∆ω_С).

2. Энергетический критерий. Можно отбрасывать те гармоники, суммарная мощность которых меньше 10% общей мощности сигнала. В этом случае ширину спектра так же определяют оставшиеся в сигнале гармоники.

Однако независимо от критерия по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить закономерности общие для всех сигналов:

• чем круче фронт сигнала

• чем короче импульсы

• чем больше пауза между импульсами

тем шире спектр сигнала, т.е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.

Распределение мощности сигнала по гармоникам

Периодические сигналы характеризуются средней мощностью за период:

Если s – это напряжение или ток, то P – это мощность на сопротивлении 1 Ом.

Вместо s(t) можно подставить ряд Фурье:

, где

- мощность постоянной составляющей

- мощность n-й гармоники

Средняя мощность периодического сигнала равна сумме мощности постоянной составляющей P₀ и сумме средних мощностей каждой гармоники P_n.

, где N – кол-во учитываемых (пропускаемых устройством) гармоник. Например - если ∆P = 90% от полной мощности сигнала.

Практическая ширина спектра при этом равна:

, где

N – номер высшей учитываемой гармоники, т.е. практическая ширина спектра равно высшей учтенной гармонике.

Требуемые полосы пропускания для различных задач:

8

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций