6 (Полный курс лекций)

27

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Лекция 6. Элементы квантовой статистики

6.1. Особенности квантовых статистик

В 1.4. было введено понятие статистического распределения. Напомним: За­дача статистики указать распределение частиц по тому или иному параметру (энергии, координатам, импульсам, по росту).

У классических частиц параметры изменяются непрерывно. Поэтому в класси­ческой статистике f(x)dx указывает долю частиц (или число частиц), у которых параметр x лежит в интервале (x, x+ dx).

Квантовые статистики отличаются от классических из-за того, что в них час­тицы подчиняются квантовым законам:

1. Параметры частиц квантуются, принимают дискретные значения.

2. Квантовые закономерности имеют всегда вероятностный характер.

Основная задача квантовой статистики - указать  - степень заполнения (вероятность заполнения) того или иного дискретного квантового состояния.

6.2. Фазовое пространство. Ячейка фазового объема.

Напомним, что фазовым Г-пространством называется пространство 6-ти измере­ний: (три пространственные координаты, три компоненты им­пульса частиц).

Элемент фазового объема:

Из соотношения неопределенностей следует, что . Следовательно, любому состоянию частиц в Г-пространстве соответствует ячейка фазового пространства объемом h³.

Число квантовых состояний в объемеГ равно Г / h³ - числу фазовых ячеек.

Задача квантовой статистики найти  - среднее число частиц (степень заполне­ния), в каждой фазовой ячейке.

6.3. Принцип неразличимости тождественных частиц.

Фермионы и бозоны

В квантовой механике все тождественные частицы (например,все электроны) считаются принципиально неразличимыми.

Следствием этого является существование 2-х типов волновых функций, опи­сывающих состояние системы n тождественных частиц: симметричные и анти­симметричные волновые функции.

Симметричные волновые функции не изменяют знак при перестановке любой пары частиц системы, а асимметричные волновые функции при перестановке двух частиц ме­няют знак на противоположный. Доказано, что система тождественных частиц описывается симметричной волновой функцией, если частицы имеют нулевую или целую (в единицах ћ) проекцию спина (n ^. ћ), и имеют антисимметричную волно­вую функцию, если частицы имеют полуцелую (2n - 1) ћ /2 проекцию спина.

Частицы с целым и нулевым значением проекции спина называются бозонами (например, фотоны, некоторые ядра).

Частицы с полуцелыми (нечетное число ћ/2) значениями проекций спина на­зываются фермионами (например, электроны, протоны).

6.4. Функции распределения Ферми –Дирака и Бозе –Энштейна

Фермионы и бозоны обладают различными свойствами.

Свойства фермионов:

1. Подчиняются принципу Паули: (в одном состоянии может находиться не более 1 частицы).

2. Система фермионов описывается статистикой Ферми – Дирака (см. рис.6.1)

распределение Ферми – Дирака, (6.1)

г де f_ф – вероятность заполнения уровня одной частицей. - энергия i -го уровня,  - химический потенциал (см. ниже), k - постоянная Больцмана, Т - температура.

1. При малых значениях энергии: величина , и мы получаем, что вероятность заполнения уровня f=1, т. е. такие состояния с вероятностью f = 1 заполнены одной час­тицей (больше нельзя).(см рис.6.1.)

2. При вероятность заполнения лежит в диапазоне , следовательно уровни в окрестности  заполнены частично.

3. При величина , вероятность заполнения f  0, уровни не заполнены (рис.6.1.).

С войства бозонов:

1. Бозоны не подчиняются принципу Паули (в одном состоянии может быть много бо­зонов).

2. Система бозонов описывается статистикой Бозе – Эйнштейна (см. рис.6.2).

(6.2.)

У бозонов (т. к .иначе может быть , что лишено смысла)

Остановимся на физическом смысле химического потенциала. Первое начало термодинамики для системы с переменной массой имеет вид:

, (6.3)

где  dn - изменение энергии системы за счет изменения числа частиц dn.

Отсюда следует, что

Физический смысл химического потенциала  заключается в том, что он численно равен изменению внутренней энер­гии системы при увеличении системы на 1 частицу при изохорно-изоэнтропийном процессе V = const, S = const (Q= 0; dV = 0).

6.5. Понятие о вырождении.

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства за счет квантовых эффектов отличаются от свойств классических систем.

Параметром вырождения А называется величина

A=exp (/kT) (6.4.)

Обе квантовые статистики можно представить в виде

(6.5)

1. При А1 величина и вкладом + 1 в (6.5.) можно пренебречь. В результате получаем распреде­ление Больцмана, т. е. классическую статистику.

2. Чем выше температура, тем меньше А и тем более классическим становится распределение.

3. Температура, при которой начинаются квантовые эффекты, называется тем­пературой вырождения Тв.

При Т  Тв - газ вырожден и подчиняется квантовым статистикам.

При Т  Тв - газ не вырожден, подчиняется статистике Максвелла-Больц­мана.

Для газа температура вырождения определяется из формулы:

(6.6)

где n₀ - концентрация, ħ=h/2π- постоянная Планка, m - масса частицы, k- постоян­ная Больцмана. Примеры:

1) Для водорода Тв = 1К. В обычных условиях газ водорода не вы­рожден.

1. Для свободных электронов в металлах Тв = 20000К. Электроны в металлах вырождены.

2. Для газа фотонов Тв = . Газ фотонов всегда вырожден.

6.6. Вырожденный Ферми-газ в металлах

1. Рассмотрим случай Т = 0.

При Т = 0 все уровни с энергией W < ₀ заполнены 1 частицей, а все уровни с W ₀ – свободны (см. рис.6.3).

Энергия W = ₀ называется еще энергией Ферми.

Р аспределение Ферми при Т=0 имеет вид прямоугольника.

1. При Т  0 , (см. рис.6.1) лишь часть электронов в окрестности ₀ могут повышать свою энергию. Это приводит к тому, что в теплоемкости участвует лишь малая часть электронов.

Лекция 7,8. Тепловые свойства кристаллов

7.1. Строение кристаллов. Дефекты

Различают аморфные и кристаллические твердые тела.

Аморфные твердые тела - аналогичны застывшим жидко­стям. Периодич­ность структуры мала, имеет ближний порядок.

Кристаллические твердые тела имеют регулярную, периоди­ческую структурно-кристаллическую решетку. Регулярность имеет дальний порядок. Идеальный кристалл называют монокристаллом.

Дефекты - это нарушения периодичности структуры кристалла. Дефекты бывают:

1. Точечные, т.е. обусловленные включениями отдельных атомов, отсутствием атомов в некоторых узлах, вакансиями и т. д.

2. Линейные дефекты называются дислокациями.

3. Поверхностные дефекты – это, например границы между участками с различной ориентацией, границы доменов и т. д.

Выше перечислены статические дефекты. Бывают и динамические дефекты, связанные с отклонением от периодичности за счет теплового движения атомов.

Именно на дефектах происходит рассеяние частиц, волн, движу­щихся по кристаллу. В зависимости от вида связей ме­жду частицами кристалла различают: ионные кристаллы, в которых связь осуществляется за счет кулоновских сил (NaCl); мо­лекулярные кристаллы , в которых связь атомов проходит за счет ковалентных, Ван-дер-Ваальсовых связей (CH₄- Ван-дер-Ва­альсовы силы), металлы, в которых осуществляется так называемая металлическая связь ионов решетки и газа электронов.