1-2 (Полный курс лекций)

10

IV часть курса физики

Молекулярная физика и термодинамика

Введение

Молекулярная физика изучает физические - свойства веществ исходя из представления об их молекулярном строении. Её основной метод -­ физическая статистика, в котором не следят за поведением каждой молекулы, а используют средние величины, осреднённые по огромному массиву молекул.

В молекулярной физике происходит переход наших представлений в новое качество: от точного знания мы переходим к знанию усреднённому, приближённому. Мы не знаем (да и не стремимся узнать) как движется каждая из 10²⁰ молекул и не только потому, что (как пишут в литературе) рассчитать движение каждой молекулы технически сложно (10²⁰ диф. уравнений). Главное в том, (и об этом, почему-то в учебниках не пишут), что указать точное движение даже 1-2 молекул в замкнутом сосуде принципиально невозможно, т. к. свойства молекул и параметров движения носят вероятностный характер (квантовая механика).

На наше счастье в телах настолько огромное число молекул, что знать о движении каждой и не нужно, потому что их совместное результирующее действие с очень высокой точностью можно описать средними величинами.

Рассмотрим пример давления газа на поршень, которое обусловлено ударами молекул. В молекулярной физике давление описывается одним числом Р. Насколько это обосновано? Отметим, что в действительности сила давления флуктуирует вокруг некоторого среднего значения. Причём, чем больше число молекул, тем меньше относительные флуктуации и тем с большим основанием можно вводить понятие давления и считать его константой. (Относительные флуктуации ,где n – концентрация молекул, и при ). Таким образом, чем больше число молекул, тем меньше относительные флуктуации.

Аналогично температура является мерой интенсивности (энергии) хаотического движения молекул и тем более точно описывает систему, чем больше в ней частиц.

Принципиально иным подходом к свойствам веществ является термодинамика. Термодинамику, в отличие от молекулярной физики, не интересует строение тел. Термодинамика изучает количественные и качественные соотношение между макроскопическими характеристиками объектов (энергию, температуру, давление, фазовые переходы и т.д.), исходя из трех экспериментально установленных законов (начал), обладающих большой общностью. Поэтому термодинамический подход можно применять к большому кругу явлений (газы, твердые тела, электромагнитные поля и др.).

Термодинамика, как и молекулярная физика, не учитывает флуктуации и при малом числе частиц теряет смысл.

Лекция 1,2. Молекулярно - кинетическая теория газов

1.1. Основные понятия. Уравнение состояния

Напомним школьный курс.

Основные положения молекулярно-кинетической теории:

1. Вещества состоят из атомов и молекул.

2. Атомы и молекулы находятся хаотическом тепловом движении.

3. Свойства макроскопических тел объясняются взаимодействием молекул.

Основные термодинамические параметры состояния:

1.Объём V [м³]

2.Давление P=dF/dS – численно равно силе, действующей на единицу площади перпендикулярно к ней). [Н/м²]=Па (паскаль)

3.Температура Т [К] Кельвин

4.Масса газа m [Кг]

Равновесное состояние - состояние системы, которое с течением времени не изменяется (пример неравновесного состояния - горячее тело внесли в комнату).

Идеальный газ – это газ, в котором молекулы не взаимодействуют на расстоянии, а лишь при столкновениях. Размеры молекул исчезающе малы.

Моль - это набор из элементов (Это число называют числом Авогадро и обозначают _А)

Молярная масса - это масса 1 моля вещества.

Закон Авогадро (опыт): В равных объёмах различных газов при равных температурах и равных давлениях содержится одинаковое число молекул. Из него следует

Уравнение состояния идеального газа (1.1)

Клапейрона - Менделеева

где R=8,3 - универсальная газовая постоянная, - число молей.

Напомним основные изопроцессы, которые можно проводить с идеальным газом:1. Изотермический (Т = const) PV = const (см. рис.1.1 а)

2. Изобарический (P = const) V = CT (см. рис.1.1 б)

3. Изохорический (V = const) P = C₁Т (см. рис.1.1 в)

Рис.1.1 Графики изопроцессов: а) изотермический;

б) изобарический; в) изохорический.

1.2. Вывод основного уравнения мокулярно-кинетической теории

Найдем давление газа на стенки сосуда. Рассмотрим следующую модель: пусть в центре куба со стороной l находится молекула (рис.1.2). Условно можно считать, что молекула может двигаться в одном из 6 возможных направлений. Пусть ее средняя скорость равна V. Ударяясь в стенки, молекула оказывает на них давление. Найдём его.

С ила, действующая на стенку при ударе одной молекулы равна силе, действующей на молекулу. Она равна отношению изменения импульса молекулы ко времени этого изменения t:

В ектор:

(где m - масса 1 молекулы, ₁,₂ - скорости движения молекулы к стенке и обратно (рис.1.2). Проекция давления: (₂ = ₁ =  т.к. удар о стенку упругий). Молекула долетит до стенки и вернётся в центр куба через время dt=l/. Отсюда получаем, что сила, действующая на стенку, равна F=dp/dt=2m²/l.

Средняя сила, создаваемая ударом одной молекулы равна .Угловыми скобками < > мы обозначаем ускорение по всем молекулам. Если число молекул в кубе n, то к данной стенке движутся их 1/6 часть. В таком случае они создают силу: и давление: . Величина - является концентрацией молекул. А - средняя кинетическая энергия одной молекулы. Итак, для давления идеального газа на стенки сосуда получаем: или

(1.2)

Это основное уравнение кинетической теории газов.

Давление на стенку сосуда определяется произведением концентрации молекул n₀ на их среднюю кинетическую энергию .

1. 3. Молекулярно-кинетическое толкование температуры

Перепишем основное уравнение кинетической теории для произвольной массы газа m. Пусть в объеме V содержится идеальный газ, имеющий молярную массу .

В одном моле газа (массой ) содержится число молекул, равное числу Авогадро N_A, если же масса газа равна m, то это составит m/ молей и общее число молекул будет равно N= N_Am/. С учетом объема V, занимаемого газом, не трудно получить концентрацию молекул n₀=N/V= (N_Am/)/V. Подставляя это значение в соотношение (1.2), получим выражение:

, которое целесообразно сравнить с уравнением состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона

Сравнение этих выражений позволяет получить величину средней кинетической энергии молекулы газа:

(1.3)

По определению, отношение газовой постоянной R к числу Авогадро N_A называют постоянной Больцмана и обозначают буквой k=R/N_A.; k=1,38^.10^-23 Дж/К.

Таким образом, получаем, что температура тела Т равна с точностью до постоянного множителя 3/2^.k равна средней кинетикой энергии поступательного движения молекул W_k:

W_k=3/2^.kT (1.3)

С учетом данного выражения основное уравнение кинетической теории можно переписать иначе:

(основное уравнение кинетической теории) (1.4.)

Найдём среднюю квадратичную скорость поступательного движения молекул V_ср.кв.:

откуда , (1.4)

где k – постоянная Больцмана, m – масса молекулы, R – универсальная газовая постоянная,  - молярная масса, Т – температура.

При абсолютном нуле (Т = 0) движение молекул прекращается т.е. .

1.4. Статистические распределения

Задача статистического распределения - указать, какая доля частиц имеет заданные параметры. Например, какая часть людей имеет рост от Н до H + dH (рис.1.3), или какая часть молекул имеет скорость в интервале (V , V+dV) или энергию в интервале (W , W+dW).

П лощадь заштрихованного прямоугольника (см. рис.1.3) равна f(H)dH и является долей людей ростом от Н до Н+dH: , (1.5)

где N₀ – общее число людей.

Площадь под всей кривой с одной стороны равна интегралу , с другой стороны, равна единице, т. к.

Величина dN = N₀ f(H)dH - задает число людей с ростом в интервале Н до Н+dH.

Существует термин «момент» распределения f(H). Их бесконечное множество. Например:

а) среднее (математическое ожидание <H> = (1.6)

или начальный момент 1-го порядка);

б) начальный момент 2-го порядка: <H²> = (H)dH (1.7)

в) Дисперсия (центральный момент

2-го порядка) D = (1.8)

Существует теорема о том, что совокупность моментов всех порядков полностью задают распределение.