ЭКЗАМЕН шпора IV (Шпоры по тфкп на экзамен)

Z=re^i=r(cos+isin)- комплексное число.

Действия с компл. числами:

Zⁿ=rⁿe^in;

Z₁Z₂=r₁r₂e^i(1+2); Z₁/Z₂=r₁/r₂e^i(1-2);

cos(iZ)=chZ

sin(iZ)=ishZ

ch(iZ)=cosZ

sh(iZ)=iShZ

Z1^Z2=e^Z2*LnZ1;

Выделение целой и мнимой части:

e^z=e^x+iy=e^x(cosy+i siny)=( e^x cosy)+i( e^x sin y);

W=LnZ=lnZ+i(argZ+2k);

W=cosZ=>u=cosXchY; v=sinXshY;

W=sinZ=>u=sinXchY; v=cosXshY;

W=chZ=>u=chXcosY; v=shXsinY;

W=shZ=>u=shXcosY; v=chXsinY;

Преобразование к Z:

Коши-Риман:

W=f(Z)=u+iv;

Восстановление аналит. ф-ии по её действ.

или мнимой части:

1. гармоничность?

2 .

3. С(y)+С->(u) или C(x)+С->(v)

4 .f(z) = …

Аналитические функции в точке- дифф в

точке и ее окрестности.

Гармоническая функция - если ее действ.

и мнимая части удв. ур. Лапласа:

Е сли для ф-ций это вып-ся,

то они могут служить

действительной и мнимой

частью нек. гармонической

ф-ции.

Интегральная теорема Коши:

Для односвязной области:

Для многосвязной области:

Интегральная формула Коши:

Q_n(x) не имеет действительных корней!!!

Лемма Жордана:

A/(x-a) или A/(x-a)^k или Mx+N/(x²+px+q)

Г(1) = 1; Г(р+1) = рГ(р); Г(n+1) = n!

Обратное преобр. Лапласа:

Пример: (чётная – косинусы, нечётная - синусы)

Пример: (Г и В функции)

Пример: (теорема Руше)

Пример: (в ряд Лорана)

Интегрирование по параметру:

Линии второго порядка:

1. Гипербола

2. Парабола

3. Эллипс

4. Общее уравнение

Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при А•С = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.

1. Комплексный числа и действия над ними, тригономнтричекая и показательная форма компл. числа, корни n-ой степени из компл. числа (1).

2. Определение регулярной (аналитической) функции (5). Условия Коши-Римана. (6)

3.Линейная функция. Её регулярность (аналитичность). Отображение, которое она осуществляет. (1)

4. Степенная функция. Её регулярность (аналитичность). Область однолистности. Отображение, которое она осуществляет. (1-2)

5.Показательная функция. Её регулярность (аналитичность). Область однолистности. Период. Отображение, которое она осуществляет. (1-2)

6.Тригонометрические и гиперболические функции. Их регулярность (аналитичность). Периоды. (3)

7. Логарифм комплексного переменного. Регулярность (аналитичность). Многозначность отображения, которое он осуществляет. (4)

8. Общая степенная функция комплексного переменного. Регу­лярность (аналитичность). Многозначность отображения, которое он осуществляет.

9. Гармонические функция. Их связь с регулярными функциями комплексного переменного. (7)

10. Геометрический смысл модуля и аргумента производной ре­гулярной (аналитической) функции. Понятие конформного отобра­жения. (8)

11. Определение интеграла от функции комплексного переменно­го, его связь с криволинейными интегралами. Основные свойства. (9)

12. Интеграл от регулярной (аналитической) функции, Его неза­висимость от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. (12)

13. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. (11)

14. Интегральная формула Коши для регулярной (аналитиче­ской) функции. (*)

15. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Интегральная формула Коши для производных регулярной (анали­тической) функции. (*)

16. Разложение регулярной (аналитической) функции в ряд Тей­лора. Область сходимости. Формулы для коэффициентов. (13)

17. Разложение функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана. Формулы для коэффициентов. (14-15)

18. Изолированные особые точки регулярной (аналитической) функции и их классификация. Примеры. (16)

19. Устранимая особая точка. Ряд Лорана и поведение функции в окрестности этой точки. (17)

20. Полюс n-го порядка. Ряд Лорана и поведение функции в окрестности этой точки. (18)

21. Существенно особая точка. Ряд Лорана и поведение функции в окрестности этой точки. (20)

22. Нуля аналитической функции. Порядок нуля. Связь между нулем и полюсом. (19)

23. Вычет аналитической функции в точке. Его связь с рядом Лорана. Основная теорема о вычетах. (21)

24. Формулы для вычисления вычетов в простом и кратном по­люсе. (21 и 22)

25. Стереографическая проекция. Бесконечно удаленная точка. Ряд Лорана в окрестности бесконечности. Классификация особенно­стей в бесконечности. (24)

26. Вычет в бесконечно удаленной точке. Его связь с рядом Ло­рана. Вторая теорема о вычетах. (24)

27. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов по вещественной прямой от рациональных функций. (25)

28. Лемма Жордана. Вычисление несобственных интегралов ви­да (26)

29. Логарифмический вычет. Связь числа нулей и полюсов функ­ции внутри замкнутого контура с интегралом по этому контуру. (29)

30. Принцип аргумента. Теорема Руше. (31)

31. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность по па­раметру. (31)

32. Интегралы, зависящие от параметра. Интегрирование и диф­ференцирование по параметру. (32)

33. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Опреде­ление равномерной сходимости. Признаки равномерной сходимости. (33)

34. Равномерная непрерывность несобственного интеграла по па­раметру. Примеры. (34)

35. Интегрирование несобственного интеграла по параметру. Примеры. (34)

36. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру. Примеры. (34)

37. Гамма-функция и её свойства: формула понижения, связь с факториалом, формула дополнения. (35-36)

38. Аналитическое продолжение гамма-функции в комплексной плоскости. Её значения на отрицательной полуоси. Свойства Г(z). (35-36)

39. Бета-функция. Её связь с гамма-функцией. Применение к вычислению интегралов. Пример. (36-37)

40. Определение преобразования Лапласа. Его аналитичность. (39-40)

41. Определение преобразования Лапласа. Его обращения с помо­щью вычетов. (39-40)

42. Степенные ряды. Теорема Абеля.

43. Радиус и круг сходимости степенного ряда. Вычисление ра­диуса сходимости.

44. Свойства степенных рядов. Сформулировать условия непре­рывности, дифференцируемости, интегрируемости степенного ря­да в заданной области.

45. Преобразование Фурье и его свойства. (38)

46. Тригонометрические ряды Фурье: вещественная и комплекс­ная формы записи, ряды Фурье для четных и нечетных функций, разложение функций на полупериоде в ряды по синусам и по косину­сам.

47. Тригонометрические ряды Фурье: признаки сходимости и равномерной сходимости, теорема единственности.

49. Свойства коэффициентов ряда Фурье.