Курс лекций 1 (Лекции)
Описание файла
Файл "Курс лекций 1" внутри архива находится в папке "Лекции". Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (тфкп)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Курс лекций 1"
Текст из документа "Курс лекций 1"
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru
Курс лекций по ТФКП 2002-2006 гг.
Логинов А.С.
Глава 1. Основные понятия
§1 Операции над комплексными числами
Напоминание: Комплексные числа, алгебраическая форма, операции над комплексными числами, Im z, Re z, сопряжённые числа и следующие их свойства
Аргумент и модуль комплексного числа z=x+iy, ,=arg z, arg z[0,2). zn=rnei- тригонометрическая форма записи.
Расстояние между комплексными числами (z1,z2)=|z1-z2|.
Формула Муавра zn=rnein
Извлечение корней wn=z, , k-целое
§2 Комплексная плоскость
Рис. 1. Стереографическая проекция
Можно показать, что прямые и окружности из C переходят в окружности на S, а углы между пересекающимися кривыми сохраняются.
Множество комплексных чисел удобно интерпретировать как плоскость, которую называют комплексной плоскостью и обозначают C. Комплексная плоскость С с добавленной к ней несобственной «бесконечно удаленной » точкой называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается .
Понятие окрестности. Окрестность точки z0:U(z0)= {|z-z0|<}. Окрестность бесконечно удалённой точки - U()={|z|>R} . Проколотая окрестность = {0<|z-z0|<}.
Сходимость, предел последовательности .
Необходимое и достаточное условие сходимости для конечного случая
Критерий Коши сходимости последовательности к конечному пределу
Комплексные ряды zn = xn + i yn . Абсолютная сходимость. Сумма, разность, перестановка и перемножение абсолютно сходящихся рядов.
§3 Некоторые понятия, относящиеся к множествам. Кривые.
Расстояние между множествами M1,M2 : .
Предельная точка множества – точка в любой проколотой окрестности которой есть хотя бы одна точка множества.
Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки. Внутренняя точка множества – точка, принадлежащая множеству вместе с некоторой своей окрестностью , открытое множество – множества, каждая точка которого внутренняя.
Граничная точка множества – любая окрестность точки содержит как точки из множества, так и точки из его дополнения. Граница множества E (множество всех граничных точек) обозначается E, она всегда замкнута.
Кривая z=z(t):{ x=x(t), y=y(t), t[,] }, ориентация кривой, непрерывная кривая – x(t),y(t) обе непрерывны.
Непрерывная кривая называется простой или кривой Жордана, если различным значениям t1,t2 ( кроме может быть и ) соответствуют различные точки z(t1), z(t2) на комплексной плоскости.
Кривая замкнута (не путать с замкнутостью в смысле теории множеств ), если z()=z().
Связное множество. Любые две точки этого множества можно связать простой кривой, лежащей в этом множестве.
Областью, если не оговорено что-либо другое, будем называть связное открытое множество.
Область DC называется n- связной, если D состоит из n связных попарно непересекающихся компонент.
Кривая называется гладкой, если x(t),y(t) и их производные непрерывны и z(t)=x(t)+iy(t)0. Если кривая замкнута, то дополнительно требуется z()=z() ( точнее z(+0)=z(-0) ).
Кусочно гладкая кривая. Непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.
§4 Функции комплексного переменного
Определение. w = f(z), z D. Каждому z в соответствие одно или несколько значений, отображение.
Примеры:
w = z2, z C, однозначная функция.
w = является многозначной функцией
w = ln z = ln r + i , = arg z (-,], D = C\{0}, однозначная функция.
w = Arg z = arg z + 2k, (k-любой целое) многозначная функция.
w = Ln z = ln r + i + 2ik, = arg z (-,], k-целое, D = C\0, многозначная функция.
w = zb = eb Ln z может быть для некоторых b многозначной ( для натуральных b определение согласуется с операцией возведения в степень путём перемножения ).
Если функция f(z) однозначная, то можно обычным образом определить обратную функцию . Для этого обозначим через D область определения функции f(z), а область ее значений через . Обратная функция f -1 будет определена на и каждому значению w из будет сопоставлять все те значения z из D для которых f(z)=w. Обратная функция не обязана быть однозначной.
Если f и f -1 однозначные, то отображение z w = f(z) называется однолистным (отображение взаимно однозначное ).
Пример: функция w=z2 отображает однолистно область D={|z|<1,0<arg z < } верхний полукруг на круг с разрезом по положительной вещественной оси
При исследовании многозначных функций выделяют однозначные ветви. Например, рассмотрим функцию , в качестве области определения D возьмём всю комплексную плоскость с вырезом по положительной части действительной оси, x[0,). В этой области рассмотрим функции (здесь главное значение аргумента комплексного числа считается выбираемым в диапазоне 0 arg z 2). Эти функции представляют собой однозначные ветви исходной функции в области D. Первая отображает область D на верхнюю полуплоскость, вторая функция отображает область D на нижнюю полуплоскость. Однозначные ветви можно выделять по разному.
Определение предела и непрерывность
По Коши:
:0 0 z,0z – z0 : f(z) - A
: R 0z, 0z – z0 :| f(z)| > R
: 0 r z,z>r : f(z) - A
: R r z,z>r : | f(z)| > R
Аналогично даются определение по Гейне: {zn}, znz0, zn z0 :lim f(zn) = A.
Замечание: Существование конечного lim f(z) при zz0 эквивалентно существованию двух пределов lim Re f, lim Im f.
Замечание: Если f(z0), то непрерывность в этой точке эквивалентна непрерывности действительной и мнимой части в этой точке.
Пример: Функция f(z) = 1/z при z0 и равная при z=0 является непрерывной в точке z=0.
§5 Функциональные последовательности и ряды
fn(z), fn(z), fn(z)-однозначные функции.
Ряд называется равномерно сходящимся на D, если его частичные суммы Sn(z) равномерно сходятся на D к S(z)
Критерий Коши -0 n m (натурального или ноль) zD: | |
Достаточный признак Вейерштрасса
fk(z)k,zD и k сходится, то ряд fk(z) сходится на D равномерно.
Полезная теорема. Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций, есть функция непрерывная.
§6 Степенные ряды
-
Основные свойства степенных рядов.
Напоминание:
Признаки Даламбера и Коши для положительных рядов ( вещественных )
ak, 0 ak
Даламбер: Если ak, ak > 0 и , q < 1, то сходится, q > 1, то расходится.
Коши: Если ak, ak 0 и , q < 1, то сходится, q > 1, то расходится.
Комплексные степенные ряды:
cn (z-z0)n или
cn zn (1)
Теорема 1 (Абель ) Если ряд (1) сходится в точке z0 0, то он сходится абсолютно в круге |z| < |z0|.
Доказательство: Ряд сходится, следовательно (необходимое условие сходимости ряда) . Поэтому для общего члена ряда можно выписать оценку . Таким образом, исходный ряд мажорируется сходящимся рядом .
Следствие 1. Для любого степенного ряда (1) существует число R (0R) такое, что при |z|<R ряд сходится, при |z|>R ряд расходится. Это число называется радиусом сходимости степенного ряда. Круг |z| < R называется кругом сходимости.
Следствие 2. Радиус сходимости комплексного степенного ряда (1) совпадает с радиусом сходимости вещественного степенного ряда
Для этого утверждения необходимо сначала показать, что ряд (1) и ряд
имеют одинаковые круги сходимости. Действительно пусть их круги сходимости имеют радиусы R1, R2. Во всех точках |z|<R1 ряд (1) сходится абсолютно и, следовательно, (2) тоже сходится абсолютно, т.к. ряды из модулей для (1) и (2) одинаковы. По этой же причине справедливо обратное утверждение, во всех точках |z|<R2 будет сходится абсолютно не только ряд (2), но и ряд (1). После этого можно рассмотреть ряды и и показать, что они имеют один и тот же радиус сходимости.
В частности, комплексный ряд с вещественными коэффициентами имеет тот же радиус сходимости. Что и вещественный ряд с этими коэффициентами.
Теорема 2 (Абель ) Если ряд (1) имеет радиус сходимости R, то он сходится равномерно в любом круге радиуса r < R.
Доказательство: По первой теореме Абеля ряд |ckrk| сходится, кроме того ckzkck rk (z/r)k < ck rk | для всех z: |z| < r. По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно на этом множестве.
Теорема (Коши, Адамар) Радиус сходимости ряда (1) определяется по формуле R= ( ).
Примеры:
1) , имеем cn = 0, если n k2, cn = 2k, если n = k2. Поэтому , так остальные коэффициенты при n0,cn=0. Далее .
2) По определению полагаем
, по признаку Даламбера R = , либо согласно следствию 2 из первой теоремы Абеля .
3) По определению полагаем
, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Очевидно sin (-z) = - sin z.