Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Волкова И.А., Руденко Т.В.

Формальные грамматики и языки.

Элементы теории трансляции.

(издание второе, переработанное и дополненное)

1999

УДК 519.682.1+681.142.2

Приводятся основные определения, понятия и алгоритмы теории формальных грамматик и языков, некоторые методы трансляции, а также наборы задач по каждой из рассматриваемых тем. Излагаемые методы трансляции проиллюстрированы на примере модельного языка.

Во втором издании исправлены неточности и ошибки первого издания, расширен набор задач: номера первого издания сохранены, но появились дополнительные пункты, отмеченные малыми латинскими буквами. Все новые или измененные задачи отмечены звездочкой.

Для студентов факультета ВМК в поддержку основного лекционного курса “Системное программное обеспечение” и для преподавателей, ведущих практические занятия по этому курсу.

Авторы выражают благодарность Пильщикову В.Н. за предоставленные материалы по курсу “Системное программное обеспечение”, ценные советы и замечания при подготовке пособия, а также благодарят Баландина К.А. за большую помощь в оформлении работы.

Рецензенты:

проф. Жоголев Е.А.

доц. Корухова Л.С.

Волкова И.А., Руденко Т.В. “Формальные грамматики и языки. Элементы теории трансляции. (учебное пособие для студентов II курса)” - издание второе
(переработанное и дополненное)

Издательский отдел факультета ВМиК МГУ

(лицензия ЛР №040777 от 23.07.96), 1998.-62 с.

Печатается по решению Редакционно-издательского Совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова

ISBN 5-89407-032-5

• Издательский отдел факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 1999

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ФОРМАЛЬНЫХ ЯЗЫКОВ И ГРАММАТИК

Введение.

В этом разделе изложены некоторые аспекты теории формальных языков, существенные с точки зрения трансляции. Здесь введены базовые понятия и даны определения, связанные с одним из основных механизмов определения языков - грамматиками, приведена наиболее распространенная классификация грамматик (по Хомскому). Особое внимание уделяется контекстно-свободным грамматикам и, в частности, их важному подклассу - регулярным грамматикам. Грамматики этих классов широко используются при трансляции языков программирования. Здесь не приводятся доказательства сформулированных фактов, свойств, теорем, доказательства правильности алгоритмов; их можно найти в книгах, указанных в списке литературы.

Основные понятия и определения

Определение: алфавит - это конечное множество символов.

Предполагается, что термин "символ" имеет достаточно ясный интуитивный смысл и не нуждается в дальнейшем уточнении.

Определение: цепочкой символов в алфавите V называется любая конечная последовательность символов этого алфавита.

Определение: цепочка, которая не содержит ни одного символа, называется пустой цепочкой. Для ее обозначения будем использовать символ .

Более формально цепочка символов в алфавите V определяется следующим образом:

(1)  - цепочка в алфавите V;

(2) если  - цепочка в алфавите V и a - символ этого алфавита, то a - цепочка в алфавите V;

(3)  - цепочка в алфавите V тогда и только тогда, когда она является таковой в силу (1) и (2).

Определение: если  и  - цепочки, то цепочка  называется конкатенацией (или сцеплением) цепочек  и .

Например, если  = ab и  = cd, то  = abcd.

Для любой цепочки  всегда  =  = .

Определение: обращением (или реверсом) цепочки  называется цепочка, символы которой записаны в обратном порядке.

Обращение цепочки  будем обозначать ^R.

Например, если  = abcdef, то ^R = fedcba.

Для пустой цепочки:  = ^R.

Определение: n-ой степенью цепочки  (будем обозначать ⁿ) называется конкатенация n цепочек .

⁰ = ; ⁿ = ^n-1 = ^n-1.

Определение: длина цепочки - это число составляющих ее символов.

Например, если  = abcdefg, то длина  равна 7.

Длину цепочки  будем обозначать |  |. Длина  равна 0.

Определение: язык в алфавите V - это подмножество цепочек конечной длины в этом алфавите.

Определение: обозначим через V^* множество, содержащее все цепочки в алфавите V, включая пустую цепочку .

Например, если V={0,1}, то V^* = {, 0, 1, 00, 11, 01, 10, 000, 001, 011, ...}.

Определение: обозначим через V⁺ множество, содержащее все цепочки в алфавите V, исключая пустую цепочку .

Следовательно, V^* = V⁺  {}.

Ясно, что каждый язык в алфавите V является подмножеством множества V^*.

Известно несколько различных способов описания языков [3]. Один из них использует порождающие грамматики. Именно этот способ описания языков чаще всего будет использоваться нами в дальнейшем.

Определение: декартовым произведением A  B множеств A и B называется множество { (a,b) | a  A, b  B}.

Определение: порождающая грамматика G - это четверка (VT, VN, P, S), где

VT - алфавит терминальных символов ( терминалов ),

VN - алфавит нетерминальных символов (нетерминалов), не пересекаю-
щийся с VT,

P - конечное подмножество множества (VT  VN)⁺  (VT  VN)^*; элемент (, ) множества P называется правилом вывода и записывается в виде   ,

S - начальный символ (цель) грамматики, S  VN.

Для записи правил вывода с одинаковыми левыми частями

  ₁   ₂ ...   _n

будем пользоваться сокращенной записью

  ₁ | ₂ |...| _n.

Каждое _i , i = 1, 2, ... ,n , будем называть альтернативой правила вывода из цепочки .

Пример грамматики: G1 = ({0,1}, {A,S}, P, S), где P состоит из правил

S  0A1

0A  00A1

A  

Определение: цепочка   (VT  VN)^* непосредственно выводима из цепочки   (VT  VN)⁺ в грамматике G = (VT, VN, P, S) (обозначим   ), если  = ₁₂,  = ₁₂, где ₁, ₂,   (VT  VN)^*,   (VT  VN)⁺ и правило вывода
   содержится в P.

Например, цепочка 00A11 непосредственно выводима из 0A1 в грамматике G1.

Определение: цепочка   (VT  VN)^* выводима из цепочки
  (VT  VN)⁺ в грамматике G = (VT, VN, P, S) (обозначим   ), если существуют цепочки ₀, ₁, ... , _n (n>=0), такие, что  = ₀  ₁  ...  _n= .

Определение: последовательность ₀, ₁, ... , _n называется выводом длины n.

Например, S  000A111 в грамматике G1 (см. пример выше), т.к. существует вывод S  0A1  00A11  000A111. Длина вывода равна 3.

Определение: языком, порождаемым грамматикой G = (VT, VN, P, S), называется множество L(G) = {  VT^* | S  }.

Другими словами, L(G) - это все цепочки в алфавите VT, которые выводимы из S с помощью P.

Например, L(G1) = {0ⁿ1ⁿ | n>0}.

Определение: цепочка   (VT  VN)^*, для которой S  , называется сентенциальной формой в грамматике G = (VT, VN, P, S).

Таким образом, язык, порождаемый грамматикой, можно определить как множество терминальных сентенциальных форм.

Определение: грамматики G1 и G2 называются эквивалентными, если
L(G1) = L(G2).

Например,

G1 = ({0,1}, {A,S}, P1, S) и G2 = ({0,1}, {S}, P2, S)

P1: S  0A1 P2: S  0S1 | 01

0A  00A1

A  

эквивалентны, т.к. обе порождают язык L(G1) = L(G2) = {0ⁿ1ⁿ | n>0}.

Определение: грамматики G1 и G2 почти эквивалентны, если
L(G1)  {} = L(G2)  {}.

Другими словами, грамматики почти эквивалентны, если языки, ими порождаемые, отличаются не более, чем на .

Например,

G1 = ({0,1}, {A,S}, P1, S) и G2 = ({0,1}, {S}, P2, S)

P1: S  0A1 P2: S  0S1 | 

0A  00A1

A  

почти эквивалентны, т.к. L(G1)={0ⁿ1ⁿ | n>0}, а L(G2)={0ⁿ1ⁿ | n>=0}, т.е. L(G2) состоит из всех цепочек языка L(G1) и пустой цепочки, которая в L(G1) не входит.

Классификация грамматик и языков по Хомскому

(грамматики классифицируются по виду их правил вывода)

ТИП 0:

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется грамматикой типа 0, если на правила вывода не накладывается никаких ограничений (кроме тех, которые указаны в определении грамматики).

ТИП 1:

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется неукорачивающей грамматикой, если каждое правило из P имеет вид   , где   (VT  VN)⁺,   (VT  VN)⁺ и
|  | <= |  |.

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется контекстно-зависимой ( КЗ ), если каждое правило из P имеет вид   , где  = ₁A₂;  = ₁₂; A  VN;
  (VT  VN)⁺; ₁,₂  (VT  VN)^*.

Грамматику типа 1 можно определить как неукорачивающую либо как контекстно-зависимую.

Выбор определения не влияет на множество языков, порождаемых грамматиками этого класса, поскольку доказано, что множество языков, порождаемых неукорачивающими грамматиками, совпадает с множеством языков, порождаемых КЗ-грамматиками.

ТИП 2:

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется контекстно-свободной ( КС ), если каждое правило из Р имеет вид A  , где A  VN,   (VT  VN)⁺.

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется укорачивающей контекстно-свободной ( УКС ), если каждое правило из Р имеет вид A  , где A  VN,
  (VT  VN)^*.

Грамматику типа 2 можно определить как контекстно-свободную либо как укорачивающую контекстно-свободную.

Возможность выбора обусловлена тем, что для каждой УКС-грамматики существует почти эквивалентная КС-грамматика.

ТИП 3:

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется праволинейной, если каждое правило из Р имеет вид A  tB либо A  t, где A  VN, B  VN, t  VT.

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется леволинейной, если каждое правило из Р имеет вид A  Bt либо A  t, где A  VN, B  VN, t  VT.

Грамматику типа 3 (регулярную, Р-грамматику) можно определить как праволинейную либо как леволинейную.

Выбор определения не влияет на множество языков, порождаемых грамматиками этого класса, поскольку доказано, что множество языков, порождаемых праволинейными грамматиками, совпадает с множеством языков, порождаемых леволинейными грамматиками.

Соотношения между типами грамматик:

(1) любая регулярная грамматика является КС-грамматикой;

(2) любая регулярная грамматика является УКС-грамматикой;

(3) любая КС-грамматика является КЗ-грамматикой;

(4) любая КС-грамматика является неукорачивающей грамматикой;

(5) любая КЗ-грамматика является грамматикой типа 0.

1. любая неукорачивающая грамматика является грамматикой типа 0.

Замечание: УКС-грамматика, содержащая правила вида A  , не является КЗ-грамматикой и не является неукорачивающей грамматикой.

Определение: язык L(G) является языком типа k, если его можно описать грамматикой типа k.

Соотношения между типами языков:

(1) каждый регулярный язык является КС-языком, но существуют КС-языки, которые не являются регулярными ( например, L = {aⁿbⁿ | n>0}).

(2) каждый КС-язык является КЗ-языком, но существуют КЗ-языки, которые не являются КС-языками ( например, L = {aⁿbⁿcⁿ | n>0}).

1. каждый КЗ-язык является языком типа 0.

Замечание: УКС-язык, содержащий пустую цепочку, не является КЗ-языком.

Замечание: следует подчеркнуть, что если язык задан грамматикой типа k, то это не значит, что не существует грамматики типа k’ (k’>k), описывающей тот же язык. Поэтому, когда говорят о языке типа k, обычно имеют в виду максимально возможный номер k.

Например, КЗ-грамматика G1 = ({0,1}, {A,S}, P1, S) и

КС-грамматика G2 = ({0,1}, {S}, P2, S), где

P1: S  0A1 P2: S  0S1 | 01

0A  00A1