Ответы к теории к экзамену

Вопрос №1

Совокупность точки О (начала координат) и ортонормированного базиса i, j, векторы которого отложены из точки О, называется декартовой прямоугольной системой координат на плоскости. Совокупность точки О (начала координат) и ортонормированного базиса i, j, k, векторы которого отложены из точки О, называется декартовой прямоугольной системой координат в пространстве.

Если вектор задан координатами своей начальной точки В₁(x₁, y₁, z₁) и конечной точки В₂(x₂, y₂, z₂), то координаты вектора равны разности координат конца и начала: (так как ).

Вопрос №2

Ах + Ву + Сz + D = 0, A²+ B²+ C²≠0

Уравнение первой степени от трех переменных в декартовой системе координат описывает плоскость. Любая плоскость может быть описана таким уравнением: выберем три числа (x=x₀, y=y₀, z=z₀), удовлетворяющих этому уравнению. Выбранным числам соответствует точка M₀(x₀;y₀;z₀), принадлежащая геометрическому образу заданного уравнения. Из равенства Ax₀+By₀+Cz₀+D=0 следует, что D=-Ax₀-By₀-Cz₀. Подставим это выражение в рассматриваемое уравнение: Ax+By+Cz-Ax₀-By₀-Cz₀=0 => A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Если две прямые компланарны, то существует плоскость, содержащая обе прямые. Будем считать, что прямая l₁ задана своей точкой M₁(х₁, у₁, z₁) и направляющим вектором а₁(m₁, n₁, p₁), прямая l₂ задана своей точкой M₂(х₂, у₂, z₂) и направляющим вектором а₂(m₂, n, p₂).

Прямые компланарны тогда, и только тогда, когда компланарны векторы а₁, а₂ и М₁М₂. Таким образом, условие компланарности имеет вид

.

Вопрос №3

Расстояние между двумя точками (длина отрезка). Длина отрезка В₁В₂ равна длине вектора, соединяющего эти точки, т.е.

.

Деление отрезка в данном отношении. Говорят, что точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении , если . Найдем координаты точки М. . Окончательно, координаты точки, делящей отрезок в отношении , равны

Вопрос №4

Пусть на плоскости заданы два ненулевых вектора S(m,n) и N(A, B). В аналитической геометрии прямая задается как геометрическое место точек М(x, у) таких, что вектор S ортогонален вектору N. S*N=0, где вектор S – направляющий вектор прямой, а N – нормальный вектор этой прямой

У гол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пусть прямая l₁ задана уравнением у = к₁х + b₁, прямая l₂ задана уравнением у = к₂х + b₂; . Обозначим угол между этими прямыми. Так как , то . Таким образом, . Если прямые заданы своими общими уравнениями

l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0, то , и .

Отсюда выводятся условие параллельности прямых: l₁|| l₂, если к₁ = к₂, или , или А₁В₂ = А₂В₁.

и условие перпендикулярности прямых: , или

А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

Вопрос №5

П усть в пространстве задан ненулевой вектор N(A, B, C) и точка М₀(x₀, y₀, z₀). Плоскость задается как геометрическое место точек М (x, y, z) пространства таких, что вектор М₀М ортогонален вектору N. Таким образом, получаем векторное уравнение плоскости

.

(скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю). Вектор N называется нормальным вектором плоскости.

В координатном виде векторное уравнение имеет вид

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0

(уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀, y₀, z₀) и имеющей нормальный вектор N(A, B, C)). Преобразуем это уравнение: Ах + Ву + Сz + (–Ах₀ –Ву₀ –Сz₀) = 0, или Ах + Ву + Сz + D = 0, где D = (–Ах₀ – Ву₀ – Сz₀).

Уравнение Ах + Ву + Сz + D = 0 называется общим уравнением плоскости.

Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость П задана уравнением A x + B y + C + D = 0, M₀(x₀, y_0, z₀) – произвольная точка пространства. Для любой точки М₁(x₁, y₁, z₁), лежащей на плоскости, расстояние d от точки M₀ до плоскости П равно абсолютной величине проекции вектора на нормальный вектор N(A, B, С). Пусть точка М₁ имеет координаты (x₁, y_1, z₁), тогда , и

, так как из принадлежности точки М₁ плоскости П следует, что Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0, т.е. (-Ax₁ - By₁ - Cz₁) = D.

Вопрос №6

Пусть в пространстве задан ненулевой вектор a(m, n, p) и точка М₀(x₀, y₀, z₀). Прямой, проходящей через точку М₀ в направлении вектора а называется геометрическое место точек М (x, y, z) пространства таких, что вектор коллинеарен вектору а.

Так как а ≠ 0, условие коллинеарности векторов и а имеет вид . Если r_М0 – радиус-вектор точки М₀, r_М – радиус-вектор точки М, то для любой точки М прямой выполняется , или

.

Это уравнение называется векторным уравнением прямой в пространстве. Вектор а называется направляющим вектором прямой.

Запишем векторное уравнение в координатной форме. r_М = xi + yj + zk,

r_М0 = x₀ i + y₀ j + z₀ k, a t = mti + ntj + ptk, поэтому

Эти уравнения называется параметрическими уравнением прямой в пространстве. Исключим из этих уравнений параметр t: . Уравнения

называется каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть даны две точки M₁(x₁,y₁,z₁) и М₂(x₂,y₂,z₂). Тогда уравнение прямой, проходящей через две заданные точки будет иметь вид:

Прямая в пространстве может задаваться также как пересечение двух непараллельных плоскостей:

векторы N₁(A₁, B₁, C₁) и N₂(A₂, B₂, C₂) неколлинеарны. Система

называется общими уравнениями прямой.

Вопрос №7

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0

(уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀, y₀, z₀) и имеющей нормальный вектор N(A, B, C)). Преобразуем это уравнение: Ах + Ву + Сz + (–Ах₀ –Ву₀ –Сz₀) = 0, или Ах + Ву + Сz + D = 0, где D = (–Ах₀ – Ву₀ – Сz₀). Уравнение Ах + Ву + Сz + D = 0 называется общим уравнением плоскости.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы, т.е.условие параллельности прямых имеет вид . Если выполняются равенства , то уравнения А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 определяют одну и ту же плоскость.

Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда ортогональны их нормальные векторы, т.е.условие перпендикулярности прямых имеет вид .

У гол между плоскостями. Даны две плоскости П₁: А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 с нормальным вектором N₁(A₁, B₁, C₁) и П₂: А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 с нормальным вектором N₂(A₂, B₂, C₂). Очевидно, косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормальными векторами, поэтому . Если требуется определить острый угол между плоскостями, то .

Вопрос №8

Рассмотрим произвольную плоскость. Выберем на ней некоторую точку М(x,y,z) и единичный нормальный вектор n(cos α, cos β, cos φ). Ортогональная проекция проекция вектора OM на направление вектора n равна p, следовательно выполняется равенство n*OM=p. Записывая это скалярное произведение в координатной форме, получим нормальное уравнение плоскости:

x* cos α+y*cos β+z*cos φ-p=0.

Если выбранная точка не принадлежит плоскости, то имеет место равенство:

δ= x* cos α+y*cos β+z*cos φ-p, где δ – отклонение точки от плоскости. Модуль отклонения – это расстояние от данной точки до плоскости. Знак отклонение указывает полупространство, в котором находится точка: «+» - дальнее, т.е. не содержащее начало координат, «-» - ближнее.

Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость П задана уравнением

A x + B y + C + D = 0, M₀(x₀, y_0, z₀) – произвольная точка пространства. Для любой точки М₁(x₁, y₁, z₁), лежащей на плоскости, расстояние d от точки M₀ до плоскости П равно абсолютной величине проекции вектора на нормальный вектор N(A, B, С). Пусть точка М₁ имеет координаты (x₁, y_1, z₁), тогда , и

, так как из принадлежности точки М₁ плоскости П следует, что Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0, т.е. (-Ax₁ - By₁ - Cz₁) = D.

Вопрос №9

Эллипс. Пусть на плоскости даны две точки F₁ и F₂, расстояние между которыми равно 2с. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до фокусов постоянна и равна 2а (a > c). Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса.

Для того, чтобы получить уравнение эллипса, введем на плоскости прямоугольную систему координат. Начало координат совместим со серединой отрезка F₁F₂, ось Ох направим вдоль этого отрезка, ось Оу – перпендикулярно ему. Тогда фокусы имеют координаты F₁(-c, 0) и F₂(c, 0), и если M(x, y) – текущая точка эллипса, то расстояния от этой точки до фокусов равны длинам фокальных радиусов F₁M и F₂M: и . Определение эллипса запишется так: . Преобразуем это уравнение, чтобы избавиться от корней: