Занятие 11. Частные производные 1-го порядка. Частные производные высших порядков. (Семинары по линейной алгебре)
Описание файла
Файл "Занятие 11. Частные производные 1-го порядка. Частные производные высших порядков." внутри архива находится в папке "Семинары по линейной алгебре". Документ из архива "Семинары по линейной алгебре", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Занятие 11. Частные производные 1-го порядка. Частные производные высших порядков."
Текст из документа "Занятие 11. Частные производные 1-го порядка. Частные производные высших порядков."
Занятие 11. Частные производные 1-го порядка. Частные производные высших порядков.
Дифференциал первого и второго порядка ФНП.
Частные производные. Пусть (x1, ..., хk, ..., xn) − произвольная фиксированная точка из области определения функции u = f(x1, ..., хn). Придавая значению переменной хk (k = 1, 2, ..., п) приращение рассмотрим предел
Этот предел называется частной производной (1-го порядка) данной функции по переменной xk в точке (x1, ..., хk, ..., xn) и обозначается или .
Частые производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме хk, рассматриваются как постоянные).
Частными производными 2-го порядка функции u = f(x1, ..., хn) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом:
и т. д. Аналогично определяются и обозначаются частные производные Порядка выше второго. Результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от очередности дифференцирования при условии, что возникающие при этом «смешанные» частные производные непрерывны.
Дифференциал функции и его применение. Полным приращением функции u = f(x1, ..., хn) в точке P(x1, ..., хn). соответствующим приращениям аргументов , , ..., называется разность
Функция и = f(Р) называется дифференцируемой в точке (x1, ..., хn), если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде
где , A1, A2, ..., An ‑ числа, не зависящие от , , ..., .
Дифференциалом du 1-го порядка функции u = f(x1, ..., хn) в точке (x1, ..., хn) называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно , , ..., , т. е.
Дифференциалы независимых переменных равны их приращениям:
Для дифференциала функции u = f(x1, ..., хn) справедлива формула
Дифференциалом 2-го порядка d2u функции u = f(x1, ..., хn) называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменных x1, ..., хn при фиксированных значениях dx1, .., dхn:
d2u = d(du).
Аналогично определяется дифференциал m-го порядка:
dmu = d(dm ‑ 1u).
Дифференциал т-гo порядка функции u = f(x1, ..., хn), где x1, ..., хn ‑ независимые переменные, выражаемся символической формулой
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
Задачи
Найти частные производные первого и второго порядков от заданных функций:
7.55. z = x5 + y5 − 5x3y3. 7.57. 7.60. z = yx. 7.61. . 7.63.
7.66. Найти f'x(3, 2), f'y(3, 2), f''xx(3, 2), f''xy(3, 2), f'yy(3, 2), если f(x, y) = x3y +xy2 ‑ 2x + 3y ‑ 1.
7.87. Найти полное приращение и дифференциал функции z = x2 ‑ ху + y2, если x изменяется от 2 до 2,1, а у ‑ от 1 до 1,2.
Найти дифференциалы функций:
Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций (x, у, z ‑ независимые переменные):
Проверить функцию на дифференцируемость в точке (0, 0).
Домашнее задание 7.56, 7.58, 7.59, 7.62, 7.64, 7.67, 7.88, 7.90, 7.92, 7.102, 7.107.
7.56. . 7.58. . 7.59. . 7.62. . 7.64. . 7.67. Найти f'x(1, 2), f'y(1, 2), f''xx(1, 2), f''xy(1, 2), f'yy(1, 2), если .
7.88. Найти полное приращение и дифференциал функции z = lg(x2 + y2), если x изменяется от 2 до 2,1, а у ‑ от 1 до 0,9.
Ответы