Занятие 1. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис и размерность пространства. Переход к новому базису. (Семинары для ИБМ)

Занятие 1. Линейное пространство, пространство Rⁿ . Линейная зависимость. Базис и размерность пространства. Переход к новому базису.

Линейное пространство. Множество L называется линейным (векторным) пространством, если выполнены следующие условия

1) В L введена операция сложения элементов, т.e. , определено отображение (обозначение: z = x + y) обладающее следующими свойствами:

1а) x + y = y + x; 1б) (x + y) + z = x + (y + z);

1в) (элемент 0 называется нулевым);

1г) (элемент −х называется противоположным элементу х).

2) В L введена операция умножения элементов на действительные (комплексные) числа, т.е. определено отображение (обозначение: у = λх), обладающее свойствами:

2а) ; 2б) .

3) Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:

3а) ; 3б) .

Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство L называется действительным, если в L операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.

Система векторов {x₁, ..., x_s} ⊂ L называется линейно зависимой, ecли найдутся числа λ₁, ..., λ_s не равные одновременно нулю и такие, что λ₁x₁ + ... + λ_sx_s = 0; в противном случае эта система называется линейно независимой.

Пусть Q ⊂ L − произвольное множество векторов линейного пространства. Упорядоченная система векторов B = (e₁, ..., e_s) называется базисом в Q, если:

а) e_k ∈ Q, k = 1, 2, ..., s;

б) система B = (e₁, ..., e_s) линейно независима;

в) для любого a ∈ Q найдутся такие числа a₁, ..., a_s что

(1)

Формула (1) называется разложением вектора a по базису B.

Коэффициенты a₁, ..., a_s однозначно определяются вектором a и называются координатами этого вектора в базисе B.

Если множество обладает базисами, то все они состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом Q (и обозначаемого rank Q). В частности, если все пространство L имеет базис, то оно называется конечномерным и обозначается L_n где n = dim L − число векторов в любом базисе, называемое размерностью пространства. В противном случае пространство L называется бесконечномерным.

Пусть L_n − произвольное n-мерное пространство, B  = (e₁, ..., e_n) − фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.

При этом линейные операции над векторами в координатной форме выглядят следующим образом:

,

Пусть B  = (e₁, ..., e_n) и B ' = (e'₁, ..., e'_n) − два различных базиса в L_n. Каждый из векторов базиса B' разложим по базису B:

Матрицей перехода T_B→B', от базиса B к базису B' называется матрица

k-й столбец которой есть столбец Е'_k координат вектора e'_k, в базисе B. Если x − произвольный вектор из L_n, X и X' − столбцы его координат в базисах B и B' соответственно, то имеет место равенство

(2)

(формула преобразования координат при преобразовании базиса).

Пример 1. Найти координаты геометрического вектора х = −i + 2j + k в базисе B' состоящем из векторов e'₁ = i + j, e'₂ = j + k, e'₃ = i + k

Решение. Выпишем координаты векторов e'₁, e'₂, e'₃ в исходном базисе B = (i, j, k) и найдем матрицу перехода T_B→B'

, , ;

Обращая матрицу T_B→B' и используя формулу (2), находим

, х = 2e'₁ − e'₃

Задачи: ОЛ-1, гл. 4: 4.1–4.9 (неч.), 4.15, 4.17, 4.21, 4.24, 4.28, 4.30 или ДЛ-3, гл. 3: 3.7-3.19 (неч.), 3.25 , 29–33 (неч.), 53–57(неч.), 63.

Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами:

4.1. Множество V₃ всех геометрических векторов.

4.3. Множество P_п всех многочленов p(t) = a_n − 1t ^n − 1 + ... +a₁t + a₀ степени n − 1 с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.

4.5. Множество М_т, п всех матриц размера .

Выяснить, являются ли следующие множества линейными пространствами:

4.7. Множество всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой.

4.9. Множество всех сходящихся последовательностей.

4.15. В пространстве V₃ заданы векторы e'₁ = i + j, e'₂ = i − j, e'₃ = −i +2j − k.

Доказать, что система B' = (e'₁, e'₂, e'₃) − базис в V₃ и написать матрицу перехода T_B→B', где B = (i, j, k). Найти координаты вектора x = i − 2j + 2k в базисе B'.

Пусть B = (i, j, k) и B' = (i', j', k') − прямоугольные базисы в V₃. В задачах 4.16−4.18 найти матрицу перехода T_B→B' и выписать столбец координат вектора x = i − 2j + k в базисе B'.

4.17. Базис B' получен перестановкой i' = j, j' = k, k' = i.

4.21. Доказать, что система арифметических векторов x₁ = (l, 2, 0, 4), x₂ = (−1, 0, 5, 1), x₃ = (1, 6, 10, 14) линейно зависима, и написать какое-нибудь нетривиальное соотношение вида . Найти ранг и все базисы этой системы.

4.24. Доказать, что система многочленов t³ + t² + t + 1, t² + t + 1, t + 1, 1 линейно независима.

4.28. Найти координаты многочлена t² − t + 2 в базисе 1, t − 1, (t − 1)².

В задачах 4.30−4.34 в произвольном пространстве L_n векторы е'₁, е'₂, ..., е'_n и х заданы своими координатами в некотором базисе B. Доказать, что система B' = (е'₁, е'₂, ..., е'_n) базис в L_n и найти столбец X' координат вектора х в этом базисе.

4.30. , , ,

Домашнее задание: ОЛ-1, гл. 4: 4.2–4.10 (четн.), 4.16, 4.18, 4.19, 4.25, 4.31 или ДЛ-3, гл. 3: 3.8–3.14 (четн.), 3.22–3.26 (четн.), 3.30–3.34 (четн.), 3.42,3.54–3.58 (четн.),3.64

4.2. Множество Rⁿ всех арифметических n-компонентных векторов х = (х₁, ..., х_п).

4.4. Множество C_[a, b] всех функций f(t), непрерывных на отрезке [a, b], с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на числа.

4.6. Множество V₁ всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой.

4.8. Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию |x| > а, где а > 0 − фиксированное число.

4.10. Множество всех расходящихся последовательностей.

4.16. Базис B' получен изменением на противоположное направление всех трех базисных ортов B.

4.18. Базис B' получен поворотом базиса B на угол φ вокруг орта i.

4.19. Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометрических векторов x₁ = −i + 2j, x₂ = 2i − j + k, x₃ = −4i +5j − k, x₄ = 3i − 3j + k.

4.25. Доказать, что система многочленов t² + 1, −t² + 2t, t² − t образует базис в пространства P₃. Выписать в этом базисе столбец координат многочлена −2t² + t − 1.

4.31. , , ,

Ответы

4.6. Да. 4.7. Да, если прямая проходит через начало координат. 4.8. Нет. 4.9. Да. 4.10. Нет. 4.15