Лекции по линейной алгебре в ворде (до ФНП)

Лекции по линейной алгебре.

2 семестр.

Лекция №1:

№1.Переход к новому базису линейного пространства:

Пусть имеется два базиса

(e1,e2,…,en) B

(e’1,e’2,…,e’n) B’

пусть координаты произвольного вектора в старом базисе (В) X= , в новом (В') X’=

=x1e1+x2e2+…+xnen=BX

=x’1e’1+x’2e’2+…+x’ne’n=B’X’ BX=B’X’

Опр.1:Матрицей перехода от базиса В к базису В' наз. матрица TB B', столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе, т. е.

e’1=t11e1+t21e2+…+tn1en

…………………….

e’n=t1ne1+t2ne2+…+tnnen

TB B'=

эта матрица не вырожденная - определитель не равен нулю, т. е. векторы нового базиса линейно независимы.

Т1: X=TX'

BX=B'X' BX=(BT)X'=B(TX') X=TX'

B'=BT

(e’1,e’2,…,e’n)= (e1,e2,…,en)

№2:Евклидово пространство:

Опр.2:Евклидовым пространством наз. подпространство линейного пространства, для которого выполнены требования:

-имеется правило, по которому двум произвольным векторам Евклидово пространства ставится в соответствие число, которое наз. скалярным произведением и обозначается:

для любого x,y прин. En (x,y)

-это правило удовлетворяет четырём аксиомам:

1: (x,y)=(y,x)

2: (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y)

3: ( x,y)= (x,y)
4: (x,x) 0 и (x,x)=0 x=0

Пример: рассмотрим линейное пространство функций, непрерывных на [a;b] (C[a,b])

Данное пространство является бесконечномерным.

Скалярное произведение на этом пространстве определяется как

для любого f(x),g(x) сущ. C[a,b]

(f(x),g(x))=

Норма вектора: II f(x)II= =

Т2: (Неравенство Коши – Бунековского ) скалярное произведение двух векторов En всегда ,чем произведение норм этих векторов.

для любого x,y прин.En (x,y) IIxII IIyII

для любого прин. R

(x+ y, x+ y)= +2 (x,y)+

D= =

I(x,y)I IIxII IIyII (x,y) IIxII IIyII

Следствие1:

-1 1

Отсюда корректно вводить понятие угла между векторами:

Cos(x^,y)=

Лекция №2:

№1:Норма вектора. Ортогональность.

Следствие1из теоремы Коши – Бунековского (неравенство треугольника):

IIxII+IIyII IIx+yII

IIx+yII= =

IIxII+IIyII

Т1:(Линейная независимость ортогональной системы векторов): Пусть e1,e2,…,en - ортогональная система ненулевых векторов, тогда e1,e2,…,en - линейно

независима.

Пусть e1,e2,…,en линейно зависимы, тогда хотя бы один из них будет выражаться в виде линейной комбинации остальных:

например, e1= 2e2+…+ nen

2e2 e1=0 nen e1=0

получили противоречие.

Опр.1:Базис e1, e2 ,…, en наз. ортонормированным,

если все векторы базиса попарно ортогональны и

норма каждого вектора равна единице.

Ортогонализация системы векторов (процедура Шмидта):

пусть имеется система не ортогональных векторов

b1, b2 ,…, bn , на базе этих векторов построим

систему ортогональных векторов:

e1= b1

e2= b2-( b2 e1) e1/

e3= b3 -( b3e1) e1/ -( b3 e2) e2/

en= bn -( bn e1) e1/ -( bn e2) e2/ -…-( bn en-1) en-1/

Пример: ортогонализировать систему векторов

=(1,0,0)

=(1,1,0)

=(1,1,1)

Решение:

e1=(1,0,0)

e2=(1,1,0)-1*(1,0,0)/1=(0,1,0)

e3=(1,1,1)-1*(1,0,0)/1-1*(0,1,0)/1=(0,0,1)

e1 e3=0

e2 e3=0

e2 e1=0

№2 Линейные операторы:

Опр.1:Оператор, действующий на линейном пространстве Ln, наз. линейным, если:

(1): для любого x,y прин. Ln a(x+y)= ax+ ay

(2): прин. R a ( x)= a(x) , где a- оператор.

Замечание: Оператор есть отображение линейного пространства Ln Lm (с помощью a ),

при котором для любого x прин. Ln y= ax прин. Lm

Примеры лин. операторов:

(1) Оператор дифференцирования

(2) Оператор проектирования геометрических

векторов на плоскость.

Матрица оператора:

Пусть в пространстве Ln задан базис e1, e2 ,…, en,

в пространстве Lm _ g1, g2 ,…, gm и есть лин. оператор,

который преображает Ln в Lm. (с помощью a)

Опр. 2:Матрицей оператора наз. матрица,

столбцами, которой являются координаты образов базисных векторов e1, e2 ,…, en в базисе g1, g2,…, gm.

Образы лежат в Lm.

Образ базисного вектора:

a e1=a11 g1+ a21 g2+…+am1 gm

…………………………..

a en=a1n g1+ a2n g2+…+amn gm

A=

Т. 2. Пусть - произвольный вектор Ln,

a - лин. оператор, действующий из Ln в Lm

с матрицей A, тогда образ вектора (y= ax)

имеет координаты, которые вычисляются по

формуле

=

a e1=a11 g1+ a21 g2+…+am1 gm

…………………………..

aen=a1n g1+ a2n g2+…+amn gm

A=

y-образ

y= ax = a(x1e1+…+xnen)= = =

=(a11x1+…+a1nxn)g1 +…+(am1x1+…+amnxn)gm

y1=(a11x1+…+a1nxn)

…………………

yn=(am1x1+…+amnxn)

=

Лекция №3.

№ 1. Действия над линейными операторами:

пусть даны два лин. оператора a и b,

с матрицами соответственно A ; B.

Опр. 1. Суммой операторов наз. оператор a+b ,

такой , что действие которого на произвольный

вектор дает ax+bx:

a+b (a+b)x=ax+bx

Опр. 2: Оператором наз. оператор , действие которого на вектор равносильно произведению на образ ax.

*x (ax)

опр. 3: Композицией операторов a,b,c наз. оператор, действие которого равносильно воздействию a(b(cx)).

abc a(b(cx)).

В определениях 1-3 матрицы операторов удовлетворяет равенство :

1. a+b A+B

2. A

3. abc ABC - матрицы должны быть

(удовлетворять усл. пр-я матриц).

Т. 1 :Операторы в опр. 1-3 также явл. линейными.

a+b- линейный оператор.

(a+b)(x+y)=a(x+y)+b(x+y)=ax+ay+bx+by=

=(a+b)x+(a+b)y

Аналогично в Опр. 2 и Опр. 3.

Пусть в базисе e1, e2 ,…, en матрица оператора a

имеет вид A.

т.к. базисов в пр-ве Ln бесконечно много, то возникает задача об изменении матрицы оператора при переходе к новому базису.

Т. 2 : Пусть в базисе B: e1, e2 ,…, en a имеет матрицу A , а в базисе B’: e’1,e’2,…,e’n a имеет матрицу A’ , тогда связь между матрицами

A’= B-B’ AT B-B’

Y’= Y= AX= ATX’

Y’=A’X’

A’= AT

Следствие : detA’=det detAdetT=(1/detT)*detAdetT=detA

Определитель матрицы не меняется при переходе к новому базису.

№ 2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора:

Опр. 4:Подпространство линейного пространства наз. инвариантным для лин. оператора a , если для любых

x прин. L’n образ опять лежит в этом подпространстве.

L’n включает Ln x прин. L’n ax прин. L’n

Пример: пусть - оператор поворота вектора вокруг заданной оси на заданный угол, тогда множество всех векторов , параллельных этой оси явл. инвариантом для оператора поворота.

Рассмотрим одномерное инвариантное для оператора а , наз. подпространством собственных векторов лин. пространства, пространство.

Опр.5:Ненулевой вектор линейного пространства наз. собственным вектором линейного оператора, если действие на него оператора переводит этот вектор в коллинеарный.

x прин. Ln ,x< >0

ax= x , прин. R

При этом число наз. собственным числом линейного оператора.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейного оператора.

AX= X AX- EX=0

(A- E)X=0 (2)

т.к. x< >0, то |A- E|=0 (1)

|a11- a12…….a1n |

|……..a22- …a2n | =0

|an1…………ann- |

В Ln имеем уравнение n-ой степени , относительно (наз. характеристическим уравнением).

Для нахождения собственных векторов найденные подставить в выражение (2).

Лекция №4.

№1:нахождение собственных чисел и собственных векторов.

Пример: Найти собственные числа и векторы:

a A=

Решение:

|A- E|=0

|2- 2 -1 |

|-1 -3- 0 | =0

| 2 4 -1- |

1=-2

2=-1

3=1

Первое собственное число 1 =-2, найдем собственный вектор:

AX’- 1EX’=0

(A- 1E)X’=0-однородная система.

=0

r=2

x3=c

x2=-c/2

x1=c/2

Проверка: =-2*

Аналогичным образом находим собственные векторы, отвечающие 2 и 3.

Для 2

Для 3

Данные собственные векторы линейно независимы, образуют базис трёхмерного пространства L3 . В этом базисе матрица имеет вид:

A’= =

№2:Сопряжённые операторы.

Рассмотрим подпространство линейного пространства. Евклидово пространство – это подпространство , на котором определена операция скалярного произведения векторов , подчиняющаяся четырём аксиомам(см. 1 семестр).

Опр.1: Оператор a* наз. сопряжённым оператору a,если для любых векторов , лин . пространства имеет место равенство:

(a , )=( ,a* ) (1)

Т1: Если a и a* сопряжённые операторы , то A*=

Имеем (1). a AX Y= Y

a* A*Y A*Y

Y- A*Y=0

( -A*)Y=0

Поскольку и произвольные векторы (не обязательно нулевые) ,то

-A*=0

=A*

Опр.2: Оператор a наз. самосопряженным , если имеет место равенство:

Для любого x,y прин. En (ax,y)=(x,ay)

Свойства самосопряженного оператора:

(1): Все собственные числа оператора обязательно действительны.

(2): Собственные векторы ,отвечающие различным собственным значениям самосопряженного оператора ортогональны.